Пример 1 (со слогами)

Детям, которые учатся читать и писать, дают такое задание: сложите два слога в одно слово: БАН и КА.

БАН + КА = БАНКА

Но иногда делают и наоборот: КА + БАН = КАБАН

Пример 2 (с ведрами)

Лена и Ваня наливают воду в ведро. У Лены есть двухлитровая банка с водой, а у Вани – трехлитровая. Есть разница, в какой последовательности они выльют воду? Нет. В любом случае там окажется одинаковое количество воды (5 литров).

В обоих примерах складывали две части. Но в первом случае порядок был важен, и если мы переставляли слагаемые местами, то менялся результат. Во втором случае порядок был не важен, слагаемые можно было менять местами.

Математическое сложение

Вычислите: .

Вычислите: .

То есть .

Все эти три записи означают одно и то же количество.

Вспоминая примеры со слогами и водой, приходим к предположению, что математическое сложение похоже на второй пример с водой, где менять местами слагаемые было можно.

Чтобы понять, что можно делать при сложении, а чего нельзя, нужно выяснить, что это такое. Что значит сложить 5 и 3? Это значит, что надо сложить 5 единиц и 3 единицы. Можно представить их палочками (см. рис. 1).

Рис. 1. Представление сложения

Слово «сложить» значит сложить в одну кучу. А потом посчитать, сколько там всего. Получится восемь (см. рис. 2).

Утверждение 1

Количество единиц, палочек в большой куче всегда можно посчитать. То есть любые две группы палочек можно сложить в одну большую. И там будет конкретное количество палочек.

На языке математики это можно сказать следующим образом: два любых натуральных числа  и  можно сложить. В результате получится новое натуральное число .

Числа  и  называются слагаемыми. Число  называют суммой чисел  и . Саму запись  тоже называют суммой.

Переместительный закон сложения

Складывая две группы единиц в одну большую, можно поступить двумя способами:

1. к первой группе добавить вторую,
2. ко второй добавить первую.

Неважно, в какой последовательности это делать. Взять сначала пять единиц и к ним добавить три или наоборот. То есть мы просто внутри большой кучки поменяли местами несколько элементов. Но от этого их количество не изменится. Результат всегда будет одинаков. Единиц, палочек в общей кучке всегда будет одно и то же количество. В данном случае восемь.

На языке математики это можно сказать следующим образом: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Так , потому что и та, и другая сумма равны 8.

С большими числами этот закон тоже работает: . Эти две суммы равны друг другу. Чтобы это понять, не нужно считать. Мы знаем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Сочетательный закон сложения

Пусть теперь у нас три числа (три группы единиц) и их нужно сложить. То есть сложить в одну кучу. Есть два варианта:

1. добавить к первой сначала вторую, потом третью,
2. добавить к первой уже сложенные заранее вторую и третью.

Нет никакой разницы. Мы всегда будем получать одно и то же множество единиц, палочек. Ниоткуда новые не возьмутся, и имеющиеся не потеряются.

Если записать это с помощью чисел:

Если складывать любые три числа , то можно сложить сначала первые два числа, а можно начать с последних двух. Последовательность действий при сложении нескольких слагаемых не важна.

Эти законы очень сильно могут облегчить вычисления.

Пример 1

Мы можем складывать в любой последовательности. Выберем такую последовательность, чтобы было удобно. Смотрим на последние цифры. Если они дают в сумме 10, то лучше попробовать начать с них, их проще сложить. У второго слагаемого в конце 6, а у третьего 4, в сумме они дают 10, поэтому сложим сначала их, а затем прибавим первое слагаемое.

Пример 2

Первое и последнее числа заканчиваются на пять, значит, сумма будет заканчиваться на ноль, это удобно. Но они стоят не подряд. Поменяем местами 39 и 295.

Идея проста: если надо сложить сразу несколько чисел, мы можем переставлять их, как хотим, и выполнять действия в любом порядке.

Пример 3

Первое число удобно сложить с последним, а второе – с третьим.

Пример 4

Пусть у нас несколько ваз, в каждой какое-то количество яблок. Нужно узнать, сколько яблок всего. Не нужно ссыпать все яблоки в одну кучу и пересчитывать их. Просто выпишем на бумагу, сколько в каждой вазе яблок, и сложим эти числа. Например, .

Если какая-то ваза окажется пустой, то мы напишем, что в ней ноль яблок, и общий подсчет будет выглядеть так: .

Пустая ваза не влияет на общее количество яблок. То есть добавления нуля не меняет исходное количество: .

Заключение

Подведем итог.

1) 

Любые два натуральных числа  и  можно сложить, в итоге будет тоже натуральное число . Числа  и  называются слагаемыми, число  суммой.

2) 

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

3) 

Последовательность действий при суммировании не важна.

4) 

Прибавление нуля к числу не меняет этого числа.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270.
2. Математика. 5 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. М.: 2014. — 304 с. 
3. Математика. 5 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К. и др. 14-е изд. — М.: 2015. — 272 с.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «dpva.info» (Источник)
2. Интернет-портал «interneturok.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

Домашнее задание

Вычислите удобным способом, используя законы сложения: