Прямое и обратное действие

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Как устроено сложение? Добавили к 3 яблокам 2 яблока, получили 5 яблок, получилось сложение (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять – это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание – это взаимопротивоположные действия.

Вычитание

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 – это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание – это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример.  Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых  и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Определение вычитания

Если из числа  нужно вычесть число :

Значит, что число  нужно представить в виде двух слагаемых  и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть – значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа  вычитаем число , только если  не меньше, чем . Результатом будет новое число .

• Число , от которого мы будем отнимать, которое мы будем уменьшать, называют «уменьшаемое».
• Число , количество, которое мы будем отнимать, вычитать, называется «вычитаемое».
• Число , результат вычитания, называется разностью.
• Сама запись  тоже называется разностью (рис. 3).

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 – это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность – это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны – это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

Задачи на вычитание. Пример 1

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа  и .

Пример 2

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков – неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого – это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные  и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого – это и есть вычитание.

Пример 3

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Нужно узнать разницу, а значит нужно вычитать. Итак, вычитаем из 12 число 9.

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач – задачи на сравнение.

Задача 1

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

1 способ

Петя взял 4, Маша – 3, всего они взяли  яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

2 способ

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму – это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

Правило вычитания

Если необходимо вычесть сумму, то можно сначала вычислить сумму в скобках, после этого произвести вычитание. Либо можно вычесть каждое слагаемое по отдельности:

Пример 4

1 способ

Можно сделать сначала действия в скобках и потом из 79 вычесть результат.

2 способ

Мы видим, что 79 и 19 оканчиваются на одну цифру, на 9. Значит, удобнее вычесть из 79 первое число,19, а затем второе число 24.

Правило

Вычитание и сложение – равноправные действия.

Пусть есть ваза с яблоками. Мама туда добавила 3 яблока, а папа взял 4. Изменится ли итоговое количество яблок, если они сделают это в другой последовательности – сначала папа возьмет 4, а потом мама добавит 3?

Нет, конечно, результат будет одинаков. То есть если к числу что-то прибавляется и вычитается, то эти действия можно менять местами. Главное – помнить, что мы не можем от меньшего отнять большее.

Пример 5

Здесь удобно сначала из 79 вычесть 19. Для этого меняем местами действия сложения и вычитания.

Имеет ли смысл переставлять местами слагаемые? Нет. 

Здесь явно удобнее вычесть третье слагаемое из первого.

Заключение

Список литературы 

1. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. – 2-е изд., перераб. – М.: 2011; Ч. 1 – 176 с, Ч. 2 – 240 с. 
2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с. 
3. Никольский С. М., Потапов М. К. и др. Математика. 5 класс. Учебник. – 14-е изд. – М.: 2015. – 272 с. 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет 

1. Интернет-портал «infourok.ru» (Источник)

Домашнее задание 

Вычислите удобным способом: