Повторение геометрических фигур

На рис. 1 изображено пять геометрических фигур.

Рис. 1. Геометрические фигуры

Треугольник и круг

Среди всех знакомых фигур треугольник и круг являются уникальными в своем роде.

Треугольник – минимальная замкнутая ломаная. То есть замкнутая ломаная не может состоять из одного или двух звеньев.

Кроме того, любой треугольник – выпуклая фигура, единственный многоугольник, обладающий таким свойством (рис. 2).

Рис. 2. Выпуклые треугольники

Остальные многоугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 3).

Рис. 3. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Круг так же, как и треугольник, является выпуклой фигурой. Эти фигуры связаны между собой следующими свойствами.

1. Около треугольника всегда можно описать окружность. То есть провести такую окружность, что все вершины треугольника будут на ней находиться (рис. 4).

Рис. 4. Описанная окружность

2. В треугольник всегда можно вписать окружность, то есть провести окружность, которая касается всех сторон треугольника. Касается – это значит, имеет ровно одну общую точку (рис. 5).

Рис. 5. Вписанная окружность

3. У треугольника может быть только одна вписанная и одна описанная окружность (рис. 6).

Рис. 6. Вписанная и описанная окружности у треугольника

Другие многоугольники такими свойствами не обладают. Вписать либо описать окружность получается не всегда (рис. 7).

Рис. 7. Многоугольники, в которые нельзя вписать или описать окружность

 Геометрическая фигура и ее границы

Чтобы нарисовать эти фигуры, нужно провести некоторую линию. Линия является границей фигуры. А сама фигура – это все, что лежит внутри данной границы (рис. 8).

Рис. 8. Изображение геометрической фигуры

Например, в раскрасках обычно дают границу, а раскрашивать нужно сами фигуры (рис. 9).

Рис. 9. Фигура и ее границы на примере раскраски

Толщина линии

Какая толщина может быть у границы? Если мы говорим о границе между морем и сушей, например. Если отклониться в одну сторону, то мы окажемся в воде, если отклониться в другую сторону, то окажемся на суше.

На самом деле, когда мы говорим о границе, мы имеем в виду линию, которая не имеет толщины.

Этот вывод мы делаем еще в раннем детстве, когда берем в руки карандаш или ручку и начинаем рисовать. 

Например, если мы рисуем в тетради домик, то для нас не имеет значения, какой толщины линия. Мы проводим линию только для того, чтобы отделить от всего листа тетради ту его часть, которая, по нашему замыслу, будет домом. 

Тот факт, что иногда мы рисуем линии, изображающие границы, толще или тоньше, не отменяет указанного выше свойства. Толщина линии границы не содержит информации и не несет никакого смысла для рисунка.

Так же, как и смысл слова КОТ не меняется от того, какими буквами мы его напишем – с тонкими линиями или с жирными.

Мы встречаемся с понятием границы, когда говорим о границе государства, то есть линии, которая ограничивает территорию государства и отделяет его от других. Или, например, понятие границы возникает, когда мы говорим о границе моря и суши, то есть линии, которая отделяет берег от моря (рис. 10, рис. 11).

Рис. 10. Границы фигуры на примере границы государства	Рис. 11. Границы фигуры на примере границы моря и суши

Подобным образом каждую фигуру на плоскости ограничивает некоторая замкнутая линия и отделяет ее от остальной части плоскости.

 Выпуклые и невыпуклые геометрические фигуры

На рис. 12. первая и вторая фигуры имеют углы и стороны, их граница – это замкнутая ломаная. У третьей и четвертой фигур нет ни углов, ни сторон, а их границей является гладкая кривая.

То есть гладкая фигура – фигура, у которой нет углов.

Рис. 12. Геометрические фигуры

Рассмотрим подробнее третью и пятую фигуры (рис. 13.). Определим, чем они отличаются.

Если взять любые две точки круга (третьей фигуры), то отрезок, который их соединяет, обязательно окажется внутри. Фигуры, обладающие таким свойством, называются выпуклыми.

Для пятой фигуры это не всегда так. Такие фигуры называются невыпуклыми.

Рис. 13. Выпуклые и невыпуклые геометрические фигуры

Как видим, круг – выпуклая фигура.

Овалом называется любая выпуклая фигура, с гладкой границей.

На рис. 14 изображены две фигуры: круг и эллипс. И эллипс, и круг являются овалами, так как их ограничивают гладкие кривые и они являются выпуклыми.

Рис. 14. Изображение круга и эллипса

Как нарисовать эллипс

Рассмотрим еще один известный овал – эллипс. Эллипсы встречаются в жизни не реже окружностей. Например, планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам.

Наверное, вы замечали, что если светить фонариком вертикально к поверхности, то он освещает круг (рис. 15).

Рис. 15. Освещаемое пятно от фонарика

Если фонарик наклонять, то освещаемое пятно становится эллипсом (рис. 16).

Рис. 16. Освещаемое пятно от фонарика

Еще один пример – разрезание колбасы. Если резать колбасу вертикально, то на срезе получается круг. Если резать под углом – получается эллипс.

Рассмотрим, как нарисовать эллипс. Выполним следующие действия.

Вобьем два гвоздя и привяжем за концы нитку. После этого карандаш цепляем за нитку и берем таким образом, что нитка остается все время натянутой. Когда обойдем карандашом вокруг гвоздиков, получится эллипс (рис. 17).

Рис. 17. Изображение эллипса с помощью гвоздиков, нитки и карандаша

Таким образом, эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов эллипса) – постоянная величина (рис. 18).

Рис. 18. Изображение эллипса

Вернемся к движению планет вокруг Солнца. Следует отметить, что Солнце находится в одном из фокусов эллипса, по которому двигаются планеты (рис. 19).

Рис. 19. Фокус эллипса, по которому двигаются планеты

Если уменьшать расстояние между гвоздиками, эллипс будет все больше и больше походить на окружность. При совмещении двух гвоздиков получится окружность.

Можно сказать, что окружность – это частный случай эллипса.

Как видим, эллипс задается двумя точками и длиной нити. А окружность – одной точкой и длиной нити. В этом смысле эллипс сложнее окружности в описании.

Зачем колеса делают круглыми

Кажется, что ответ очевиден – для того, чтобы они легко катились.

Если бы колеса велосипеда были, например, овальными, езда на таком велосипеде напоминала бы прогулку по улице, на которой на каждом шагу встречаются ступеньки. Действительно, каждый знает, что подниматься куда-то по лестнице или просто куда-то вверх – это достаточно тяжело. Что проще: пройти путь наверх и вниз или все это время идти прямо?

Как раз круглая форма колес обеспечивает движение тела велосипедиста по прямой. Если бы колеса имели овальную форму, то велосипедист то поднимался бы вверх, то опускался вниз, затрачивая тем самым на движение куда большее количество усилий.

Окружность и ее характеристики

Рассмотрим, каким образом можно нарисовать круг. Известно, что для этого нужно нарисовать его границу, которая называется окружностью.

Линия, которая ограничивает круг, называется окружностью.

Запомнить легко: окружность проводится около круга.

Научимся проводить точную окружность. Для этого следует выполнить следующие действия (рис. 20).

Возьмем гвоздик, возьмем нитку и один ее конец привяжем к гвоздику. Ко второму концу привяжем карандаш. Натянем нитку и нарисуем замкнутую линию. Полученная линия и есть окружность.

Рис. 20. Изображение точной окружности с помощью гвоздика, нитки и карандаша

Рассмотрим любую точку на этой линии. Расстояние от нее до гвоздика – длина нитки. То есть все точки на окружности находятся на одинаковом расстоянии от гвоздика, который называют центром окружности (рис. 21).

При этом отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней, называют радиусом окружности. Значит, длина радиуса – это длина нитки.

Рис. 21. Центр и радиус окружности

Окружность – это геометрическое место точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра окружности).

Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом окружности. Длина радиуса обозначается буквой  (рис. 22).

Рис. 22. Радиус окружности

С окружностями мы встречаемся каждый день. Например, кончики стрелок часов движутся по окружностям (рис. 23). При этом для каждой из стрелок радиус этой окружности равен длине самой стрелки.

Рис. 23. Движение кончиков стрелок часов по окружности

Катаясь на карусели, мы также описываем окружность.

Мы уже говорили, что граница фигуры отделяет фигуру от остальной части плоскости. При этом окружность – не исключение.

Окружность делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Точки вне окружности удалены от центра на расстояние, большее радиуса. Аналогично, точки внутри окружности удалены от центра на расстояние, меньшее радиуса (рис. 24).

Рис. 24. Точки внутри и вне окружности

Определение круга

Часть плоскости, которая находится внутри окружности, вместе с самой окружностью называется кругом.

Круг можно получить, если, например, привязать корову к колышку и дать ей возможность кушать траву вокруг колышка. В этом случае корова рано или поздно выест всю траву в круге с центром в колышке и радиусом, равным длине веревки.

Определение: круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Характеристики круга

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой. Чем ближе концы хорды на окружности, тем меньше длина хорды (рис. 25).

Рис. 25. Хорда окружности

Хорда максимальной длины проходит через центр окружности и называется диаметром. Длина диаметра обозначается буквой  (рис. 26). Диаметр состоит из двух радиусов, значит, длина диаметра в два раза больше длины радиуса. Выполняется соотношение: 

Рис. 26. Диаметр окружности

Две точки на окружности могут соединяться не только по прямой (в этом случае образуется хорда), но и по самой окружности.

Любая часть окружности называется дугой окружности (рис. 27).

Рис. 27. Хорда и дуга окружности

Если концы хорды совпадают с концами дуги, говорят, что хорда стягивает дугу окружности (рис. 28).

Рис. 28. Хорда, стягивающая дугу окружности

Диаметр стягивает дугу, которая называется полуокружностью, так как диаметр делит окружность на две одинаковые дуги, длины которых равны (рис. 29).

Рис. 29. Полуокружность

Задача Дидоны

Представьте, что нам дана нитка и стоит задача – ограничить на карте государство максимальной площади. Как поступить?

Наибольшую площадь мы выделим, если ограничим круг. Так и поступила Дидона.

Согласно легенде, город Карфаген основала Дидона. Она попросила местного царя участок земли для создания небольшого поселения. Царь разрешил Дидоне и ее свите взять себе столько земли, на сколько хватит шкуры одного быка. Забив самого большого быка, которого только смогли найти ее люди, Дидона разрезала его шкуру на очень узкие полоски. Она обнесла ими максимальную по площади территорию, выложив их в форме окружности. Царь был удивлен и покорен умом Дидоны и дал ей то, что она просила.

Вывод можно сформулировать следующий: кривая заданной длины будет ограничивать фигуру максимальной площади, если она является окружностью.

 Заключение

Итак, на этом уроке мы дали точные математические определения окружности и кругу. Узнали о том, что такое границы фигуры, гладкая кривая и выпуклая фигура. Также обсудили некоторые важнейшие свойства окружности и круга, те самые, которые выделяют их среди других фигур соответственно. Также узнали некоторые характеристики: радиус, диаметр, хорда и дуга окружности.

Список литературы

1. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
2. Виленкин Н. Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013.
3. Ерина Т. М. Математика 5 кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина, 2013. – М.: Мнемозина, 2013.

Домашнее задание

1. Учебник: Зубарева И. И.,Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
2. Упр. 407, 409 стр. 114–115.
3. Учебник: Виленкин Н. Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013.
4. Упр. 850, 853 стр. 134.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)