Окружность и круг (Вольфсон Г. И.)
На данном уроке дается определение окружности и круга, а также определение дуги, радиуса, хорды и диаметра окружности, рассматривается взаимное расположение точек и окружности, а также двух окружностей, решаются различные задачи по этой теме.
Определение окружности, круга, радиуса, диаметра
Определение окружности
Все мы в речи употребляем такое слово, как «круглый». Что вы представляете, когда говорите слово «круглый»? Тарелку, может быть, мячик или солнце? Но можете ли вы формально, четко определить с математической точки зрения, что такое круг? Что такое окружность? И чем круг отличается от окружности?
Возьмем некоторую точку и нарисуем линию вокруг этой точки так, чтобы все точки данной линии находились на одинаковом расстоянии. Такая линия называется окружностью.
Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 1).
Исходная точка называется центром окружности. Обычно ее обозначают буквой О, но это не обязательно.
Рис. 1. Окружность
Определение круга
Окружность разделила лист на две части. Одна часть находится внутри, другая – снаружи. Часть плоскости, которая ограничена окружностью, называется кругом.
То есть окружность является границей круга. Точку О называют центром круга.
Определение радиуса и диаметра
Отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности, называется радиусом (от лат. radius – спица в колесе).
В окружности все радиусы равны.
Радиус круга – это радиус той окружности, которая ограничивает данный круг.
Проведем линию через центр окружности, соединяющую две точки на ней. Пусть центр окружности – точка О, точки на окружности – А и В.
Отрезок АВ, соединяющий две точки A и B окружности и проходящий через центр окружности, называется диаметром окружности (с лат. diametros – поперечный).
Диаметр делит окружность и круг на две равные части. Диаметр равен двум радиусам.
Радиус принято обозначать R или r, диаметр – D или d.
Для одной и той же окружности верно равенство: 
Рис. 2. Диаметр и радиус
Определение дуги
Определение дуги
Рассмотрим окружность и две произвольные точки на окружности – М и N. Та часть, которая находится между точками М и N, называется дугой окружности и обозначается:
Дуги, на которые делит окружность диаметр, называются полуокружностями. Также, если провести диаметр круга, он разделит его на два полукруга.
Рис. 3. Дуга
Пример использования окружности, круга в жизни
Представьте часы. Циферблат имеет форму окружности. Соответствующие промежутки между цифрами – это дуги. Каждая дуга обозначает, сколько проходит часовая стрелка за один час. Эти дуги равные, т. к. мы знаем, что от 12 до 1 проходит столько же времени, сколько от 1 до 2.
Решение задач
Задача 1. Дана окружность с центром в точке О и несколько точек – А, В, С, K, L, M, N (рис. 4). Про каждую точку необходимо сказать, принадлежит ли она окружности, кругу или тому и другому.
Рис. 4. Задача
Решение: Рассмотрим точку К. Она не лежит окружности и не принадлежит окружности. Аналогично ведет себя точка N.
Точка А не лежит на окружности, но находится внутри окружности, значит, она принадлежит кругу. Точно так же ведут себя точки В и L. Кстати, точка О также принадлежит кругу, но не принадлежит окружности.
Точки С и М лежат на окружности, поэтому они принадлежат окружности, но они принадлежат и кругу.
О канализационных люках
Почему же люки делают круглыми? Разгадка вот в чём. Обычно сама дырка тоже круглой формы, и её радиус меньше, чем крышка, поэтому крышка не проваливается вниз, как бы её ни поворачивали (так как диаметр крышки больше, чем диаметр соответствующей дырки).
Если отверстие будет квадратное, то в самом длинном месте (диагонали квадрата) дырка будет больше, чем сторона крышки, и тогда крышка провалится вниз.
Поэтому крышки делают круглой формы.
Заключение
Мы с вами познакомились с такими понятиями, как окружность и круг. Окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная линией. При этом окружность является границей и частью круга. Мы познакомились с понятиями радиуса и диаметра. Выяснили, что диаметр больше радиуса в 2 раза. Помимо этого, мы узнали, что такое дуга, и посмотрели на примеры применения окружности и круга в жизни.
Список рекомендованной литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Теоретический материал (Источник)
- Теоретический материал (Источник)
- Примеры решений заданий (Источник)
- Учебник Н.Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)
Домашнее задание
1. Какие из точек, указанные на рисунке:
а) лежат внутри круга;
б) лежат на окружности;
в) являются центром круга;
г) лежат вне круга;
д) являются центром окружности;
е) не лежат на окружности?
2. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке любого радиуса. Измерьте радиус окружности. Чему равен диаметр этой окружности?
3. Начертите отрезок АВ, равный 4 см, проведите окружность с центром в точке В и радиусом 2 см, а также другую окружность с центром в точке А и радиусом 3 см. Обозначьте точки пересечения окружностей буквами С и D. Чему равны длины отрезков АС, СВ, DA и BD?
Оцените урок:
