Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств

Тема урока: Линейные неравенства, системы и совокупности неравенств

Цели урока

• Разобраться, что такое линейные неравенства

• Научиться решать системы и совокупности линейных неравенств

• Понять, как показывать решения на числовой прямой

Основная часть урока

1. Что такое линейное неравенство?

Линейное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:

• 2x + 3 > 7

• 4x — 5 ≤ 3
  Важно: Решение — это все числа, которые делают неравенство верным.

2. Решение линейных неравенств

Чтобы найти решение:

• Переносим числа в другую часть, меняя их знак (+ становится -, и наоборот).
  Пример: 3x + 6 < 12 → 3x < 12 — 6 → 3x < 6

• Делим обе части на число перед x.

  • Если число положительное, знак неравенства не меняется: 3x < 6 → x < 6 ÷ 3 → x < 2

  • Если число отрицательное, знак меняется: -2x > 8 → x < 8 ÷ (-2) → x < -4
    Запомни: При делении на отрицательное число знак неравенства меняется!

3. Что такое системы и совокупности неравенств?

• Система неравенств: Это несколько неравенств, которые должны быть верны одновременно. Решение — числа, подходящие для всех неравенств.
  Пример:
  2x + 1 > 5
  x — 3 < 4

• Совокупность неравенств: Это неравенства, где достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно. Решение — все числа, подходящие хотя бы для одного неравенства.
  Решение системы или совокупности показываем на числовой прямой.

4. Решение системы неравенств

1. Решаем каждое неравенство отдельно.

2. Находим числа, которые подходят для всех неравенств сразу (пересечение решений).
   Пример:

• 2x > 4 → x > 4 ÷ 2 → x > 2

• x ≤ 5
  Решение: числа, которые больше 2 и меньше или равны 5, то есть 2 < x ≤ 5.

5. Решение совокупности неравенств

1. Решаем каждое неравенство отдельно.

2. Собираем все числа, которые подходят хотя бы для одного неравенства (объединение решений).
   Пример:

• x + 1 > 3 → x > 2

• x < 6
  Решение: все числа, которые либо больше 2, либо меньше 6, то есть все числа (от -∞ до +∞).

6. Показ решений на числовой прямой

• Для каждого неравенства рисуем стрелку и кружок (пустой для «>» или «<«, закрашенный для «≥» или «≤»).

• Для системы: берем область, где стрелки пересекаются.

• Для совокупности: берем все области, где есть хотя бы одна стрелка.
  Пример для системы 2 < x ≤ 5: пустой кружок на 2, закрашенный на 5, стрелка между ними.

7. Зачем это нужно?

Неравенства, системы и совокупности помогают в жизни:

• Сколько конфет можно купить, чтобы уложиться в бюджет и взять больше минимума?

• В какие дни можно пойти в парк, если есть ограничения по времени?