Тема урока: Обзорный урок по рациональным неравенствам и их системам 😊

Цели урока 🎯

Сегодня мы повторим и обобщим всё, что узнали о рациональных неравенствах и их системах! 🚀 Мы разберём, что это такое, как их решать, и как применять в задачах. Этот урок поможет закрепить знания и подготовиться к контрольной работе! 📚

Основные понятия 🔍

Что такое рациональное неравенство? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение, в котором есть дроби с переменными. Например:

• (x + 1)/2 < 3 — нужно найти числа x, при которых дробь меньше 3.

• 1/(x — 2) > 0 — здесь переменная в знаменателе, и мы ищем, где дробь положительна.

Важно: знаменатель дроби не может быть равен нулю, иначе неравенство теряет смысл! 😄

Что такое система рациональных неравенств? 🧩

Система — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Например:

• (x + 1)/2 < 3

• 1/(x — 2) > 0

Решение системы — это все числа x, которые подходят для всех неравенств сразу. 🌟

Виды рациональных неравенств 📝

1. Простые: Например, (x — 1)/3 < 2 — похоже на линейное неравенство, но с дробью.

2. Сложные: Например, (2x)/(x + 1) > 1 — нужно привести к общему знаменателю или анализировать знаки.

3. С переменной в знаменателе: Например, 1/(x + 3) ≤ 0 — важно учитывать, где знаменатель меняет знак.

Как решать рациональные неравенства? 🔧

1. Упрощаем неравенство:

   • Если есть дробь, например, (x + 1)/2 < 3, умножим обе части на 2: x + 1 < 6, то есть x < 5.

   • Если переменная в знаменателе, например, 1/(x — 2) > 0, проверяем, где знаменатель x — 2 > 0, то есть x > 2, и исключаем x = 2.

2. Проверяем ограничения:

   • Убедимся, что знаменатель не равен нулю. Например, в 1/(x — 2) > 0 точка x = 2 недопустима.

3. Анализируем знаки (для сложных неравенств):

   • Для (2x)/(x + 1) > 1: Переместим 1: (2x)/(x + 1) — 1 > 0, приведём к общему знаменателю: (2x — (x + 1))/(x + 1) = (x — 1)/(x + 1) > 0. Проверяем, где дробь положительна: при x > 1 или -1 < x < 1, исключая x = -1.

Как решать системы рациональных неравенств? 🛠️

1. Решаем каждое неравенство отдельно:

   • Для (x + 1)/2 < 3: x < 5.

   • Для 1/(x — 2) > 0: x > 2.

2. Находим пересечение решений:

   • x < 5 и x > 2 дают интервал 2 < x < 5.

3. Проверяем ограничения и подстановкой:

   • Убедимся, что x ≠ 2 (из второго неравенства). Интервал 2 < x < 5 подходит, так как не включает 2.

   • Подставим, например, x = 3: (3 + 1)/2 = 2 < 3 и 1/(3 — 2) = 1 > 0 — всё верно! ✅

Графический метод 📈

На числовой прямой:

• Закрашиваем решения каждого неравенства.

• Например, для x < 5 — область левее 5, для x > 2 — правее 2.

• Пересечение — общая область, то есть 2 < x < 5. Это помогает увидеть решение наглядно! 🎨

Зачем это нужно? 🌈

Рациональные неравенства и их системы используются:

• В экономике: для расчёта допустимых цен или ресурсов. 💸

• В программировании: для задания границ значений переменных.

• В жизни: для планирования, где нужно учесть несколько условий, например, время и бюджет.

Интересный факт! 😎

Системы рациональных неравенств помогают создавать безопасные маршруты для роботов! Например, робот-пылесос использует такие системы, чтобы не врезаться в стены и обойти мебель. 🤖