Метод подстановки

Тема урока: Метод подстановки

Цели урока

Сегодня мы разберем, как решать системы уравнений с помощью метода подстановки! Это простой и понятный способ, который поможет найти значения x и y, удовлетворяющие сразу двум уравнениям. Мы научимся:

• Понимать, что такое метод подстановки.

• Выражать одну переменную через другую.

• Находить решения системы уравнений шаг за шагом.

Что такое система уравнений?

Система уравнений — это два уравнения с двумя переменными (обычно x и y), которые нужно решить одновременно. Например:

• Первое уравнение: y = x + 2

• Второе уравнение: x + y = 8

Решение — это пара чисел (x, y), которая подходит для обоих уравнений.

Что такое метод подстановки?

Метод подстановки — это когда мы берем одно уравнение, выражаем из него одну переменную (например, y через x), а потом подставляем это выражение в другое уравнение. Так мы получаем уравнение с одной переменной, которое легко решить!

Как работает метод подстановки?

Давай разберем на примере системы:

• y = x + 2

• x + y = 8

Шаг 1: Вырази одну переменную
Из первого уравнения уже известно, что y = x + 2. Это мы и будем использовать!

Шаг 2: Подставь выражение в другое уравнение
Второе уравнение: x + y = 8. Заменяем y на x + 2:
x + (x + 2) = 8

Шаг 3: Реши уравнение
Упростим:
x + x + 2 = 8
2x + 2 = 8
2x = 8 — 2
2x = 6
x = 3

Шаг 4: Найди вторую переменную
Подставим x = 3 в первое уравнение y = x + 2:
y = 3 + 2 = 5

Шаг 5: Проверь решение
Решение: (x, y) = (3, 5). Проверяем:

• В первом уравнении: y = x + 2 → 5 = 3 + 2 (верно ✅).

• Во втором уравнении: x + y = 8 → 3 + 5 = 8 (верно ✅).
  Значит, (3, 5) — правильное решение!

Еще один пример!

Рассмотрим систему:

• y = 2x

• x + y = 6

Шаг 1: Из первого уравнения y = 2x.

Шаг 2: Подставим y = 2x во второе уравнение:
x + 2x = 6

Шаг 3: Решаем:
3x = 6
x = 2

Шаг 4: Находим y:
y = 2x = 2 × 2 = 4

Шаг 5: Проверяем:

• y = 2x → 4 = 2 × 2 (верно ✅).

• x + y = 6 → 2 + 4 = 6 (верно ✅).
  Решение: (2, 4).

Что делать, если y или x не выражены?

Если в уравнениях переменные не выражены явно, можно самому выразить одну через другую. Например, из уравнения x + y = 4 можно выразить y:
y = 4 — x
И дальше подставить это в другое уравнение.

Зачем это нужно?

Метод подстановки помогает:

• Решать задачи, где нужно найти два неизвестных, например, сколько стоит яблоко и груша, если известна общая цена.

• Понимать, как связаны переменные в уравнениях.

• Готовиться к более сложным задачам в будущем!

Интересный факт!

Метод подстановки используют не только в алгебре, но и в жизни! Например, чтобы рассчитать, сколько нужно купить материалов для ремонта, если известны их стоимость и общий бюджет.