Системы уравнений в задачах на работу

Тема урока: Системы уравнений в задачах на работу

Цели урока

На этом уроке мы разберем, как использовать системы уравнений для решения задач на работу! Это интересный способ применить алгебру к ситуациям, где люди или машины выполняют работу вместе или по отдельности. Мы научимся:

• Составлять системы уравнений для задач на работу.

• Решать системы, чтобы найти время или производительность.

• Понимать, как математика помогает описывать совместную работу.

Что такое задачи на работу?

Задачи на работу связаны с тем, сколько времени нужно людям, машинам или другим объектам, чтобы выполнить задачу (например, покрасить забор или наполнить бассейн). Основная идея:

Работа = Производительность × Время
Производительность — это, сколько работы выполняется за единицу времени (например, за час). Мы будем составлять системы уравнений, чтобы найти неизвестные величины, такие как время или производительность.

Как составлять системы уравнений для задач на работу?

1. Прочитай задачу и определи, что нужно найти (время, производительность).

2. Обозначь переменные (обычно x и y для двух неизвестных).

3. Запиши уравнения, основываясь на условиях задачи и формуле Работа = Производительность × Время.

4. Реши систему любым методом (например, подстановки или сложения).

Давай разберем это на примерах!

Пример 1: Совместная работа (покраска забора)

Условие: Маша и Петя красят забор. Маша может покрасить весь забор за x часов, а Петя — за y часов. Вместе они покрасили забор за 3 часа. Также известно, что Маша красит в два раза медленнее, чем Петя. Найдите, за сколько часов каждый может покрасить забор.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время, за которое Маша красит забор (ч).

• y — время, за которое Петя красит забор (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность Маши: 1/x (доля забора за час).

• Производительность Пети: 1/y.

• Вместе за 3 часа они красят весь забор (1 забор): 3 × (1/x + 1/y) = 1.

• Маша красит в два раза медленнее: x = 2y.

Система:

• 3 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 2y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 2y.
Подставим x в первое уравнение:
3 × (1/(2y) + 1/y) = 1
Упростим: 1/(2y) + 1/y = 1/3
(1 + 2)/(2y) = 1/3
3/(2y) = 1/3
2y = 9
y = 4.5

Теперь найдём x:
x = 2 × 4.5 = 9

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/9 (Маша) + 1/4.5 (Петя) = 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3 за час. За 3 часа: 3 × 1/3 = 1 (верно ✅).

• x = 2y: 9 = 2 × 4.5 (верно ✅).

Ответ: Маша красит за 9 часов, Петя — за 4.5 часа.

Пример 2: Раздельная работа (наполнение бассейна)

Условие: Два крана наполняют бассейн. Первый кран наполняет бассейн за x часов, второй — за y часов. Вместе они наполняют бассейн за 2 часа. Если первый кран работает в 1.5 раза дольше, чем второй, найдите время наполнения для каждого крана.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время первого крана (ч).

• y — время второго крана (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность первого крана: 1/x.

• Производительность второго крана: 1/y.

• Вместе за 2 часа: 2 × (1/x + 1/y) = 1.

• Первый кран работает в 1.5 раза дольше: x = 1.5y.

Система:

• 2 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 1.5y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 1.5y.
Подставим в первое:
2 × (1/(1.5y) + 1/y) = 1
1/(1.5y) = 2/(3y), так что:
2 × (2/(3y) + 1/y) = 1
2 × (2/(3y) + 3/(3y)) = 1
2 × 5/(3y) = 1
10/(3y) = 1
3y = 10
y = 10/3 ≈ 3.33

Теперь:
x = 1.5 × (10/3) = 15/3 = 5

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/5 + 1/(10/3) = 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2 за час. За 2 часа: 2 × 1/2 = 1 (верно ✅).

• x = 1.5y: 5 = 1.5 × (10/3) (верно ✅).

Ответ: Первый кран — 5 часов, второй — около 3.33 часов.

Пример 3: Совместная работа (уборка сада)

Условие: Катя и Саша убирают сад. Катя может убрать сад за x часов, а Саша — за y часов. Вместе они убирают сад за 4 часа. Также известно, что Катя работает в 2 раза дольше, чем Саша. Найдите время для каждого.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время Кати (ч).

• y — время Саши (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность Кати: 1/x.

• Производительность Саши: 1/y.

• Вместе за 4 часа: 4 × (1/x + 1/y) = 1.

• Катя работает в 2 раза дольше: x = 2y.

Система:

• 4 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 2y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 2y.
Подставим в первое:
4 × (1/(2y) + 1/y) = 1
4 × (1/(2y) + 2/(2y)) = 1
4 × 3/(2y) = 1
12/(2y) = 1
6/y = 1
y = 6

Теперь:
x = 2 × 6 = 12

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4 за час. За 4 часа: 4 × 1/4 = 1 (верно ✅).

• x = 2y: 12 = 2 × 6 (верно ✅).

Ответ: Катя убирает за 12 часов, Саша — за 6 часов.

Зачем это нужно?

Системы уравнений в задачах на работу помогают:

• Рассчитывать, сколько времени нужно для выполнения задач вдвоем или по отдельности.

• Планировать работу в реальной жизни, например, строительство или уборку.

• Развивать навыки решения задач с помощью алгебры.

Интересный факт!

Задачи на работу используют в инженерии и экономике, чтобы оптимизировать процессы, например, сколько рабочих нужно для завершения проекта вовремя!