Тема урока: Степенная функция y=x^(-2n), ее свойства и график 😊

Введение в степенную функцию 🌟

Сегодня на уроке мы разберем, что такое степенная функция с отрицательной четной степенью, а именно функцию вида y = x^(-2n), где n — это натуральное число (1, 2, 3 и так далее). Это интересная функция, которая ведет себя необычно, и мы узнаем, как она выглядит на графике и какие у нее особенности! 🚀

Степенная функция — это функция, где переменная x возводится в какую-то степень. В нашем случае степень отрицательная и четная, например, -2, -4, -6 и так далее. Давайте разберемся, что это значит, и как это влияет на поведение функции! 😄

Что значит y = x^(-2n)? 🤔

Записать y = x^(-2n) можно проще. Например:

• Если n = 1, то степень будет -2, и функция станет y = 1/x².

• Если n = 2, то степень будет -4, и функция станет y = 1/x⁴.

Отрицательная степень означает, что x находится в знаменателе дроби. Например, x^(-2) = 1/x². А четная степень (2, 4, 6…) делает функцию симметричной и всегда положительной (если x не равно 0). Это важно запомнить! 😎

Свойства степенной функции y = x^(-2n) 📝

Давайте разберем основные свойства этой функции. Они помогут нам понять, как она работает и как строить ее график:

1. Область определения 🔍
   Функция определена для всех x, кроме x = 0, потому что делить на ноль нельзя! 😱
   Пример: Если y = 1/x², то при x = 0 мы получим деление на ноль, а это невозможно.

2. Область значений 🌈
   Значения функции y всегда положительны (y > 0), потому что четная степень (например, x² или x⁴) дает положительное число, а деление на положительное число тоже дает положительный результат.

3. Четность функции ✅
   Функция четная, то есть y(-x) = y(x). Это значит, что график симметричен относительно оси y. Если подставить x или -x, результат будет одинаковым. Круто, правда? 😊

4. Убывание 📉
   Функция убывает на двух участках:

   • Когда x > 0, с увеличением x значение y уменьшается.

   • Когда x < 0, с уменьшением x значение y тоже уменьшается.
     Это делает график очень интересным!

5. Асимптоты 🚪

   • Вертикальная асимптота: линия x = 0 (ось y), потому что при x, стремящемся к 0, y становится очень большим (стремится к бесконечности).

   • Горизонтальная асимптота: линия y = 0 (ось x), потому что при очень больших x (или очень маленьких, близких к 0), значение y становится очень маленьким.

График функции y = x^(-2n) 🎨

Теперь давай нарисуем график в воображении! 😄 График функции y = x^(-2n) выглядит так:

• Он состоит из двух ветвей: одна в правой части (где x > 0), другая в левой (где x < 0).

• Ветви симметричны относительно оси y, потому что функция четная.

• Когда x близко к 0, график резко поднимается вверх (к бесконечности).

• Когда x становится большим (или очень отрицательным), график приближается к оси x, но никогда ее не касается.

• График напоминает две «перевернутые параболы», которые находятся в первом и втором квадранте.

Пример: Для y = 1/x²:

• При x = 1, y = 1.

• При x = 2, y = 1/4.

• При x = -1, y = 1.

• При x = 0 — значения нет, это «дырка» в графике.

Как построить график? ✏️

1. Отметь вертикальную асимптоту (x = 0) и горизонтальную асимптоту (y = 0).

2. Найди несколько точек, подставляя значения x (например, x = 1, 2, -1, -2).

3. Проведи плавные кривые, которые:

   • Поднимаются вверх около x = 0.

   • Приближаются к оси x при больших x.

4. Убедись, что график симметричен! 😊

Зачем нам это нужно? 🌍

Степенные функции с отрицательной степенью встречаются в реальной жизни! Например, они описывают, как уменьшается сила притяжения между объектами с увеличением расстояния или как изменяется интенсивность света. Это суперполезно в физике и других науках! 🚀