Тема урока: Свойства прогрессий. Решение задач 🌟

Цели урока 🎯

Сегодня мы углубимся в мир арифметических и геометрических прогрессий! 😄 Узнаем их ключевые свойства и научимся решать задачи, используя эти свойства. Это как разгадывать числовые загадки, где каждый шаг приближает нас к ответу! 🧩

Повторение: что такое прогрессии? 🔄

Последовательность — это числа, идущие друг за другом по определённому правилу. Прогрессии — это особые последовательности:

• Арифметическая прогрессия: каждое следующее число получается прибавлением одного и того же числа (это разность прогрессии). Например: 2, 5, 8, 11… (+3). 📈

• Геометрическая прогрессия: каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (это знаменатель прогрессии). Например: 3, 6, 12, 24… (×2). 🚀

Свойства арифметической прогрессии 📏

Арифметическая прогрессия — это как ровные ступеньки лестницы: каждый шаг одинаковый! 😊 Вот её основные свойства:

• Постоянная разность: разница между соседними членами всегда одна и та же. Например, в 1, 3, 5, 7… разность = 3.

• Равенство разностей: если вычесть соседние члены, результат всегда одинаков. Например: 7 − 5 = 5 − 3 = 3.

• Чтобы найти следующий член, просто прибавляем разность к последнему числу. Например, в 1, 3, 5, 7 следующий член: 7 + 2 = 9. ✅

Пример: в последовательности 10, 15, 20, 25… разность = 5. Если нужно найти 5-й член, можно просто прибавить 5 четыре раза к первому числу: 10 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30. 💡

Свойства геометрической прогрессии 🌍

Геометрическая прогрессия — это как снежный ком, который растёт всё быстрее! ❄️ Основные свойства:

• Постоянный знаменатель: каждый член делится на предыдущий, и результат всегда один и тот же. Например, в 2, 6, 18, 54… знаменатель = 3 (6 ÷ 2 = 3, 18 ÷ 6 = 3).

• Чтобы найти следующий член, умножаем последний член на знаменатель. Например, в 2, 6, 18, 54 следующий член: 54 × 3 = 162. ✨

• Если знаменатель больше 1, числа быстро растут; если меньше 1, но больше 0, числа уменьшаются. Например: 16, 8, 4, 2… (знаменатель = 0.5).

Пример: в последовательности 5, 10, 20, 40… знаменатель = 2. Чтобы найти 5-й член, умножаем 5 на 2 четыре раза: 5 × 2 × 2 × 2 × 2 = 80. 🚀

Решение задач с прогрессиями 🧠

Прогрессии помогают решать задачи из жизни! Например:

• Арифметическая: сколько денег накопится за 5 месяцев, если каждый месяц откладывать на 50 рублей больше? (100, 150, 200, 250, 300). 💰

• Геометрическая: как растёт число бактерий, если каждые 2 часа их становится в 3 раза больше? (10, 30, 90, 270…). 🦠

На уроке мы будем:

• Определять, какая прогрессия перед нами.

• Находить разность или знаменатель.

• Вычислять следующий член или член под определённым номером.

• Решать простые задачи.

Пример задачи: в арифметической прогрессии 4, 7, 10, 13… найдите 6-й член. Решение: разность = 3, начинаем с 4 и прибавляем 3 пять раз: 4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 19. 🎉

Практика 📚

Мы будем тренироваться:

• Проверять, является ли последовательность прогрессией.

• Находить разность или знаменатель.

• Решать задачи, где нужно вычислить член прогрессии или продолжить ряд.

Попробуем? 😄 Если дана последовательность 1, 3, 9, 27…, какой следующий член? (Подсказка: это геометрическая прогрессия, знаменатель 3). Ответ: 27 × 3 = 81! 🌟