Тема урока: Рациональные неравенства и их системы. Системы линейных и квадратных неравенств 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберёмся, что такое рациональные неравенства, как решать их системы, а также изучим системы линейных и квадратных неравенств. Всё будет понятно, с примерами и без сложностей! 🚀

Что такое рациональное неравенство? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение, где есть переменная (например, x) в виде дроби или простого выражения, и знаки сравнения: >, <, ≥, ≤. Например: (x + 2)/x < 0 или x²/(x — 1) > 0.

• Это неравенство, где числитель и знаменатель — многочлены (выражения с x, x² и т.д.).

• Мы ищем все значения x, которые делают неравенство верным.

Как решать рациональные неравенства? 🛠️

Чтобы решить рациональное неравенство, нужно:

1. Перенести всё в одну сторону, чтобы получить ноль (например, (x + 2)/x < 0).

2. Найти точки, где числитель или знаменатель равны нулю (корни числителя и знаменателя).

3. Определить, где дробь равна нулю или не определена (знаменатель не может быть нулем).

4. Разделить числовую прямую на интервалы и проверить знаки в каждом интервале.

5. Записать ответ в виде интервалов или показать на числовой прямой.

Пример:

Решим (x — 3)/(x + 1) > 0:

1. Числитель равен нулю: x — 3 = 0 → x = 3.

2. Знаменатель равен нулю: x + 1 = 0 → x = -1.

3. Точки x = 3 и x = -1 делят числовую прямую на интервалы: x < -1, -1 < x < 3, x > 3.

4. Проверяем знаки:

   • Для x = -2: (-2 — 3)/(-2 + 1) = -5/-1 = 5 > 0 — подходит.

   • Для x = 0: (0 — 3)/(0 + 1) = -3/1 = -3 < 0 — не подходит.

   • Для x = 4: (4 — 3)/(4 + 1) = 1/5 > 0 — подходит.

5. Ответ: x < -1 или x > 3. На числовой прямой — стрелки влево от -1 и вправо от 3. 📏

Системы рациональных неравенств 🌟

Система рациональных неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Например:

• (x — 2)/x > 0

• x + 1 < 3

Решение — это значения x, которые подходят для всех неравенств сразу.

Как решать систему? 🧩

1. Решаем каждое неравенство отдельно.

2. Находим общую часть решений (пересечение интервалов).

3. Проверяем ответ на числовой прямой.

Пример:

Решим систему:

• (x + 1)/(x — 1) > 0

• x < 2

1. Первое неравенство: (x + 1)/(x — 1) > 0.

   • Числитель: x + 1 = 0 → x = -1.

   • Знаменатель: x — 1 = 0 → x = 1.

   • Проверяем интервалы: x < -1, -1 < x < 1, x > 1.

   • Знак положительный для x < -1 и x > 1.

2. Второе неравенство: x < 2.

3. Общая часть: x < -1 (так как x > 1 не пересекается с x < 2).
   Ответ: x < -1. 🎉

Системы линейных и квадратных неравенств 🔍

Иногда в системе есть линейные неравенства (например, x + 3 < 5) и квадратные неравенства (например, x² — 4 > 0). Мы решаем их так же:

1. Решаем каждое неравенство отдельно.

2. Находим пересечение решений.

3. Проверяем ответ.

Пример:

Решим систему:

• x + 1 > 0

• x² < 1

1. Первое (линейное): x + 1 > 0 → x > -1.

2. Второе (квадратное): x² < 1 → -1 < x < 1.

3. Общая часть: -1 < x < 1.
   Ответ: -1 < x < 1. На числовой прямой — интервал между -1 и 1. 📈

Зачем это нужно? 🌍

Рациональные неравенства и их системы помогают решать задачи из жизни! Например:

• Определить, сколько товаров можно купить, если цена зависит от количества. 🛒

• Найти безопасные значения скорости для транспорта. 🚙