Сложение погрешностей при вычислениях
Погрешности «заражают» результат вычислений
Мы уже умеем записывать погрешность одного измерения. Но в физике почти всегда нужно что-то вычислить из нескольких измеренных величин: найти скорость через путь и время, площадь через длину и ширину, силу через массу и ускорение.
Возникает вопрос: если каждое из исходных значений измерено с погрешностью — какова погрешность результата?
Распространение погрешностей — это расчёт того, как погрешности исходных измерений переходят в погрешность конечного результата. Правила зависят от того, какое математическое действие выполняется.
Правил всего два, и они очень чёткие:
- При сложении и вычитании — складываются абсолютные погрешности.
- При умножении и делении — складываются относительные погрешности.
Правило 1. Сложение и вычитание: складываем абсолютные погрешности
Если результат вычисляется как сумма или разность двух величин, абсолютная погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей исходных величин.
Если z = x + y или z = x − y, то:
Δz = Δx + Δy
Почему именно сумма, а не разность? Потому что погрешности могут складываться в худшем случае — обе в одну сторону. Мы берём максимально возможное отклонение.
Разбор примера
Измерили две длины: a = 12,0 ± 0,5 см и b = 7,0 ± 0,5 см. Найти периметр прямоугольника P = 2(a + b).
- Сначала находим сумму: a + b = 12,0 + 7,0 = 19,0 см
- Погрешность суммы: Δ(a+b) = 0,5 + 0,5 = 1,0 см
- Умножаем на 2 (точный коэффициент, не измеренный): P = 2 × 19,0 = 38,0 см; ΔP = 2 × 1,0 = 2,0 см
- Ответ: P = 38,0 ± 2,0 см
Важный нюанс
Точные числовые коэффициенты (2, π, ½ и т.д.) погрешности не вносят. Они только масштабируют уже имеющуюся погрешность измеренных величин.
Вычитание: погрешности всё равно складываются!
Это противоречит интуиции, но это так. При вычитании погрешности не вычитаются, а складываются. Почему?
Пример: длина комнаты L = 500 ± 5 мм, длина стола d = 480 ± 5 мм. Зазор z = L − d.
- z = 500 − 480 = 20 мм
- Δz = 5 + 5 = 10 мм
- Результат: z = 20 ± 10 мм
Вычитание близких величин — опасная операция
Относительная погрешность зазора: ε = 10/20 × 100% = 50%! Измерили каждую длину с точностью 1%, а разность получилась с точностью 50%. Вычитание близких по значению величин резко увеличивает относительную погрешность — этого нужно избегать в экспериментах.
Правило 2. Умножение и деление: складываем относительные погрешности
Если результат вычисляется как произведение или частное двух величин, относительная погрешность результата равна сумме относительных погрешностей исходных величин.
Если z = x · y или z = x / y, то:
εz = εx + εy
где ε = Δ/x₀ × 100% — относительная погрешность в процентах.
После того как найдена относительная погрешность результата, из неё получают абсолютную:
Δz = εz × z₀ / 100%
Разбор примера: вычисление скорости
Измерили путь s = 100 ± 2 м и время t = 10,0 ± 0,5 с. Найти скорость v = s/t.
- Наилучшее значение: v₀ = 100 / 10,0 = 10,0 м/с
- Относительная погрешность пути: εs = 2/100 × 100% = 2%
- Относительная погрешность времени: εt = 0,5/10,0 × 100% = 5%
- Относительная погрешность скорости: εv = 2% + 5% = 7%
- Абсолютная погрешность скорости: Δv = 7% × 10,0 / 100 = 0,7 м/с ≈ 0,7 м/с
- Ответ: v = 10,0 ± 0,7 м/с
Разбор примера: вычисление площади
Измерили стороны прямоугольника: a = 5,0 ± 0,1 м и b = 3,0 ± 0,1 м. Найти площадь S = a · b.
- Наилучшее значение: S₀ = 5,0 × 3,0 = 15,0 м²
- εa = 0,1/5,0 × 100% = 2%
- εb = 0,1/3,0 × 100% = 3,3%
- εS = 2% + 3,3% = 5,3%
- ΔS = 5,3% × 15,0 / 100 ≈ 0,8 м²
- Ответ: S = 15,0 ± 0,8 м²
Бонус: возведение в степень
Если величина возводится в степень n, её относительная погрешность умножается на n:
Если z = xⁿ, то:
εz = n · εx
Пример: измерили сторону куба a = 4,0 ± 0,1 м. Объём V = a³.
- V₀ = 4,0³ = 64,0 м³
- εa = 0,1/4,0 × 100% = 2,5%
- εV = 3 × 2,5% = 7,5%
- ΔV = 7,5% × 64,0 / 100 ≈ 4,8 м³
- Ответ: V = 64,0 ± 4,8 м³
Сводная таблица правил
| Операция | Формула | Правило для погрешности |
|---|---|---|
| Сложение | z = x + y | Δz = Δx + Δy |
| Вычитание | z = x − y | Δz = Δx + Δy |
| Умножение | z = x · y | εz = εx + εy |
| Деление | z = x / y | εz = εx + εy |
| Степень | z = xⁿ | εz = n · εx |
Универсальный алгоритм вычисления с погрешностью
- Вычисли наилучшее значение результата, подставив центральные значения x₀ и y₀.
- Определи тип операции (сложение/вычитание или умножение/деление).
- Примени нужное правило: сложи абсолютные или относительные погрешности.
- Если получил εz — переведи в Δz = εz × z₀ / 100.
- Запиши ответ в форме z = z₀ ± Δz (единица).
Итог
Запомни главное
Сложение / вычитание → складываем абсолютные погрешности: Δz = Δx + Δy.
Умножение / деление → складываем относительные погрешности: εz = εx + εy.
Степень n → умножаем относительную погрешность на n: εz = n · εx.
При вычитании близких величин относительная погрешность резко возрастает — избегай этого в экспериментах.
Точные коэффициенты (2, π, ½) погрешности не вносят.
Ответ. Первая сторона: a + b = 13,0 см, величина погрешности: 0,2 + 0,2 = 0,4 см. Умножаем на 2 (точный коэффициент): P₀ = 26,0 см, ΔP = 2 × 0,4 = 0,8 см. Ответ: P = 26,0 ± 0,8 см .
Ответ. Наилучшее значение: v₀ = 50/5,0 = 10,0 м/с. Относительная погрешность пути: ε_s = 1/50 × 100% = 2%. Относительная погрешность времени: ε_t = 0,2/5,0 × 100% = 4%. Относительная погрешность скорости: ε_v = 2% + 4% = 6%. Абсолютная погрешность: Δv = 6% × 10,0/100 = 0,6 м/с. Ответ: v = 10,0 ± 0,6 м/с .
Ответ. При вычитании абсолютных погрешностей складываются, само значение малой разности — это в первую очередь увеличивает относительную погрешность. Пример: два стержня длины 100 ± 1 мм и 98 ± 1 мм. Разность: 2 мм, погрешность: 1 + 1 = 2 мм. Относительная погрешность: 2/2 × 100% = 100% — результат полностью лишён смысла. Каждую стержень измерили с брюшной полостью 1%, разность получилась с брюшной 100%.
Оцените урок:
