Нюанс: Задачи, где путь ≠ модулю перемещения (движение туда-обратно, по дуге)
Когда путь и перемещение расходятся
Мы знаем: путь — длина траектории, перемещение — вектор из начальной точки в конечную. В большинстве реальных задач траектория не прямая, и тогда путь всегда строго больше модуля перемещения. Разобрать несколько типовых ситуаций — значит раз и навсегда понять, где именно физики часто ошибаются.
Фундаментальное неравенство: |→s| ≤ s
Равенство достигается только при прямолинейном движении в одну сторону.
Во всех остальных случаях: |→s| < s.
Тип 1. Движение туда и обратно
Самый распространённый случай. Тело возвращается в исходную точку — или проходит точку старта в обратном направлении.
Задача 1.1. Полный возврат
Мяч бросили со скоростью вдоль прямой на 12 м вперёд, затем он откатился обратно на 12 м. Найди путь и перемещение.
Путь: s = 12 + 12 = 24 м
Перемещение: начальная и конечная точки совпадают → |→s| = 0 м
Вывод: огромный путь — нулевое перемещение.
Задача 1.2. Частичный возврат
Пешеход прошёл 500 м на север, затем повернул и прошёл 200 м на юг. Найди путь, перемещение и их разность.
Путь: s = 500 + 200 = 700 м
Перемещение: 500 − 200 = 300 м на север → |→s| = 300 м
Разность: s − |→s| = 700 − 300 = 400 м
Именно столько «лишнего» прошёл пешеход из-за возврата.
Задача 1.3. Несколько разворотов
Тело движется вдоль оси x: сначала +8 м, затем −5 м, затем +3 м. Найди путь и перемещение.
Путь: s = 8 + 5 + 3 = 16 м (складываем модули всех отрезков)
Перемещение: sₓ = +8 − 5 + 3 = +6 м (алгебраическая сумма с учётом знаков)
Ключевое правило: путь — сумма модулей, проекция перемещения — алгебраическая сумма.
Тип 2. Движение по дуге или кривой
Даже если тело не возвращается назад, траектория по кривой делает путь длиннее модуля перемещения.
Задача 2.1. Четверть окружности
Тело движется по дуге — четверти окружности радиусом R = 10 м. Найди путь и перемещение.
Путь = длина дуги: s = (1/4) · 2πR = πR/2 = π·10/2 ≈ 15,7 м
Перемещение = хорда (прямая из A в B):
Начало — нижняя точка окружности, конец — боковая. Хорда = √(R² + R²) = R√2 = 10√2 ≈ 14,1 м
Разность: 15,7 − 14,1 = 1,6 м — «лишний» путь из-за кривизны траектории.
Задача 2.2. Полуокружность
Тело проехало по полуокружности радиусом R = 5 м. Найди путь, перемещение и их отношение.
Путь = полуокружность: s = πR = π·5 ≈ 15,7 м
Перемещение = диаметр (из одного конца в другой): |→s| = 2R = 10 м
Отношение: s / |→s| = πR / 2R = π/2 ≈ 1,57
Путь больше перемещения в π/2 ≈ 1,57 раза — это геометрический факт, не зависящий от R.
Задача 2.3. Полный круг
Спортсмен пробежал круг по стадиону радиусом 40 м. Найди путь и перемещение.
Путь: s = 2πR = 2π·40 ≈ 251 м
Перемещение: вернулся в исходную точку → |→s| = 0 м
Круговое движение — предельный случай: огромный путь, нулевое перемещение.
Тип 3. Движение по ломаной (несколько прямолинейных участков)
Задача 3.1. Прямоугольный маршрут
Турист прошёл: 3 км на восток, затем 4 км на север. Найди путь, модуль перемещения и направление перемещения.
Путь: s = 3 + 4 = 7 км
Проекции перемещения: sₓ = +3 км (восток), s_y = +4 км (север)
Модуль перемещения: |→s| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5 км
Направление: tan α = 4/3 → α ≈ 53° к востоку
Путь 7 км > перемещение 5 км — классическая «египетская тройка» 3–4–5.
Типичные ошибки при решении таких задач
| Ошибка | Как правильно |
|---|---|
| Складывать отрезки с учётом знака при нахождении пути | Путь — сумма модулей всех отрезков. Знаки не важны: каждый участок добавляет длину. |
| Складывать проекции по модулю при нахождении перемещения | Проекция перемещения — алгебраическая сумма: знак указывает направление, и он важен. |
| Считать, что при движении по кривой |→s| = s | Прямая — кратчайшее расстояние. Любая кривая длиннее хорды. |
| Забыть, что при полном возврате |→s| = 0, но s ≠ 0 | Перемещение = 0 не означает, что тело стояло на месте. Путь может быть любым. |
Итог
Запомни главное
Путь = сумма модулей всех участков. Всегда ≥ 0, знаки не важны.
Перемещение = алгебраическая сумма проекций. Знаки важны — они указывают направление.
Движение туда-обратно: путь растёт, перемещение уменьшается или равно нулю.
Движение по дуге: s > |→s|. По полуокружности: s/|→s| = π/2 ≈ 1,57.
Полный круг: s = 2πR, |→s| = 0 — предельный случай расхождения.
Ответ. Путь — протяженность всех участков: s = 10 + 6 + 4 = 20 м . Проекция перемещения — алгебраическая длина с учётом знаков: sₓ = +10 − 6 + 4 = +8 м . Тело оказалось на 8 м правом старта, но прошло при этом 20 м. Разница 20 − 8 = 12 м — это «лишний» путь из-за разворота.
Ответ. Путь — длина дуги: s = (1/3) · 2πR = 2π·6/3 = 4π ≈ 12,6 м . Хорда для центрального угла 120°: по закону косинусов или через геометрию — для равностороннего треугольника, вписанного в окружность, хорда = R·√3 = 6√3 ≈ 10,4 м . Путь (12,6 м) перемещения большего (10,4 м), разворотов не было — только хотя кривизна траектории.
Ответ. Понятия, что путь и перемещение по своей природе различны. Путь — скаляр, он накапливается по мере длины независимо от направления: каждый участок добавляет положительное число. Перемещение — вектор, а его проекция — алгебраическая величина: вычитаются участки в противоположных направлениях. Если применяется правило пути к перемещению — проигнорируем развороты и получаем завышенный результат. Если применить правило перемещения к пути — участки «погасят» друг друга и получат заниженный результат.
Оцените урок:
