Скорость как вектор. Уравнение движения: x = x₀ + vₓ · t
Скорость — это не просто «быстро» или «медленно»
В обычной речи скорость — это число на спидометре. В физике скорость — это вектор: она имеет и числовое значение, и направление. Автомобиль, едущий на север со скоростью 60 км/ч, и автомобиль, едущий на юг с той же скоростью, — это два принципиально разных состояния движения.
Скорость →v — векторная величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение совершено:
→v = →s / t
Единица скорости в СИ — м/с. На практике также используют км/ч: 1 м/с = 3,6 км/ч.
Скорость и быстрота: в чём разница?
| Скорость (вектор →v) | Быстрота (скаляр |→v|) | |
|---|---|---|
| Тип | Вектор | Скаляр |
| Направление | Есть — совпадает с направлением движения | Нет |
| Знак | Проекция может быть «−» | Всегда ≥ 0 |
| Показывает | Перемещение / время | Путь / время (спидометр) |
Проекция скорости на ось
При движении вдоль прямой удобно работать не с вектором скорости целиком, а с его проекцией на ось движения. Проекция — это обычное число со знаком:
vₓ > 0 — тело движется в положительном направлении оси Ox (вправо).
vₓ < 0 — тело движется в отрицательном направлении (влево).
vₓ = 0 — тело покоится или движется перпендикулярно оси.
Именно проекция vₓ входит в уравнение движения — а не модуль скорости. Это принципиально: знак vₓ несёт информацию о направлении.
Уравнение движения: x = x₀ + vₓ · t
Рассмотрим тело, движущееся вдоль оси Ox с постоянной скоростью. В начальный момент t = 0 тело находится в точке с координатой x₀. За время t оно смещается на vₓ · t. Значит, его координата в момент времени t:
x = x₀ + vₓ · t
x — координата тела в момент t (м)
x₀ — начальная координата при t = 0 (м)
vₓ — проекция скорости на ось Ox (м/с), постоянная
t — время (с)
Это уравнение — линейная функция от времени. На графике x(t) оно даёт прямую линию, наклон которой равен vₓ.
Физический смысл каждого члена
| Член | Смысл | Что показывает на графике x(t) |
|---|---|---|
| x₀ | Начальное положение тела | Точка пересечения с осью x при t = 0 |
| vₓ · t | Перемещение за время t | Насколько поднялась (или опустилась) прямая |
| vₓ | Скорость — насколько быстро меняется x | Наклон прямой (тангенс угла) |
Графики x(t) для разных ситуаций
Разбор задач
Задача 1. Найти координату
Тело стартует из точки x₀ = 5 м и движется со скоростью vₓ = 3 м/с. Где окажется тело через 4 секунды?
- x = x₀ + vₓ · t = 5 + 3 · 4 = 5 + 12 = 17 м
Задача 2. Движение в обратную сторону
Тело находится в точке x₀ = 20 м и движется со скоростью vₓ = −4 м/с (назад). Когда оно пройдёт через начало координат?
- При x = 0: 0 = 20 + (−4) · t → 4t = 20 → t = 5 с
Задача 3. Встреча двух тел
Два тела движутся навстречу: первое из x₁₀ = 0 со скоростью v₁ = 5 м/с, второе из x₂₀ = 60 м со скоростью v₂ = −3 м/с. Когда и где встретятся?
- x₁ = 0 + 5t и x₂ = 60 − 3t
- При встрече x₁ = x₂: 5t = 60 − 3t → 8t = 60 → t = 7,5 с
- Место: x = 5 · 7,5 = 37,5 м
Задача на встречу — классический тип
Записать уравнения x(t) для каждого тела и приравнять — универсальный метод для всех задач на встречу, обгон и удаление.
Итог
Запомни главное
Скорость →v — вектор; её проекция vₓ может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Уравнение движения: x = x₀ + vₓ · t — линейная функция координаты от времени.
x₀ — начальная координата (пересечение графика с осью x при t = 0).
vₓ — наклон графика x(t): крутой → высокая скорость, пологий → малая, горизонталь → покой.
Знак vₓ задаёт направление: «+» — по оси, «−» — против.
Задачи на встречу: составить x(t) для каждого тела и решить x₁ = x₂.
Ответ. По уравнению движения: 12 = −8 + 4t → 4t = 20 → t = 5 с . Можно проверить: x = −8 + 4·5 = −8 + 20 = 12 м ✓. За 5 секунд тело прошло 20 м в положительном направлении и сместилось из −8 м в +12 м.
Ответ. х₁ = 6т, х₂ = 30 + 4т. При обгоне x₁ = x₂: 6t = 30 + 4t → 2t = 30 → t = 15 с . Место встречи: x = 6·15 = 90 м . Первый велосипедист едет быстрее (+6 против +4 м/с), поэтому догонит — через 15 секунд на отметке 90 м. Если бы скорость была равна, первый никогда не догнал бы второй.
Ответ. Первое тело (крутой наклон вверх): движется в положительном направлении оси (vₓ > 0) с большой скоростью — координата быстро растёт. Второе тело (пологий наклона вниз): движется в обратном направлении (vₓ < 0), то есть в обратную сторону, но медленно — координата движется плавно. Наклон прямой на графике x(t) — это визуальное представление скорости: наклон знака дает направление, крутизна — величину.
Оцените урок:
