Ускорение свободного падения на Земле и других планетах

Тема урока: Ускорение свободного падения на Земле и других планетах 📚

Цели урока 🎯

• Вывести формулу g = G·M/R² из закона всемирного тяготения 🧠

• Научиться считать g для Земли, Луны и Марса 🔢

• Понять, чем масса отличается от веса на разных планетах 📈

Основная часть урока 📝

1. Откуда берётся формула для g 🤔

На тело массой m у поверхности планеты действует сила тяготения F = G·M·m/R². Эта же сила — сила тяжести F = m·g. Приравняем: m·g = G·M·m/R². Масса тела m сокращается, и остаётся:

g = G·M/R²

• g — ускорение свободного падения, в м/с²;

• G — гравитационная постоянная, 6,67·10^-11 Н·м²/кг²;

• M — масса планеты, в килограммах (кг);

• R — радиус планеты, в метрах (м).

✨ Важно: масса тела сократилась — значит, g не зависит от того, что падает. Без воздуха пёрышко и гиря падают одинаково.

2. Пример 1: считаем g для Земли 🔍

Масса Земли M = 6·10²⁴ кг, радиус R = 6,4·10⁶ м.

1. Формула: g = G·M/R².

2. Числитель: 6,67·10^-11 · 6·10²⁴ ≈ 4·10¹⁴.

3. Знаменатель: (6,4·10⁶)² ≈ 4,1·10¹³.

4. g ≈ 4·10¹⁴ / 4,1·10¹³ ≈ 9,8 м/с².

Получили привычные 9,8 м/с² — формула работает ✅

3. Пример 2: g на Луне 🛠

Масса Луны M = 7,35·10²² кг, радиус R = 1,74·10⁶ м.

1. Числитель: 6,67·10^-11 · 7,35·10²² ≈ 4,9·10¹².

2. Знаменатель: (1,74·10⁶)² ≈ 3,03·10¹².

3. g ≈ 4,9·10¹² / 3,03·10¹² ≈ 1,6 м/с².

Это примерно в 6 раз меньше земного — вот почему космонавты на Луне передвигаются лёгкими прыжками.

4. Пример 3: сколько ты будешь весить на Марсе 📊

Масса Марса M = 6,4·10²³ кг, радиус R = 3,4·10⁶ м. Найдём вес ученика массой 50 кг.

1. g = G·M/R² = 6,67·10^-11 · 6,4·10²³ / (3,4·10⁶)² ≈ 4,27·10¹³ / 1,16·10¹³ ≈ 3,7 м/с².

2. Вес — сила, с которой тело давит на опору: P = m·g, где P — вес (Н), m — масса тела (кг).

3. P = 50 · 3,7 = 185 Н. На Земле тот же ученик весит 50 · 9,8 = 490 Н.

На Марсе ты давил бы на весы почти втрое слабее, хотя масса осталась бы прежней — 50 кг.

5. От чего зависит g ✅

• от массы планеты: больше M — больше g;

• от радиуса: больше R — меньше g, причём R стоит в квадрате;

• от высоты: на высоте h над поверхностью g = G·M/(R + h)² — с подъёмом g уменьшается;

• ✨ Важно: от массы падающего тела g не зависит.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Считают, что тяжёлые тела падают быстрее. ✅ Без сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением g.

• ❌ Говорят «на Луне масса меньше». ✅ Масса везде одинакова, меняется вес P = m·g, потому что меняется g.

• ❌ Забывают возвести радиус в квадрат. ✅ В знаменателе всегда R².

• ❌ Для тела на высоте подставляют только h. ✅ Нужно расстояние от центра планеты: R + h.

Мини-конспект 📋

• g = G·M/R² — следствие закона всемирного тяготения.

• На Земле g ≈ 9,8 м/с², на Луне ≈ 1,6 м/с², на Марсе ≈ 3,7 м/с².

• g не зависит от массы падающего тела.

• С высотой g уменьшается: g = G·M/(R + h)².

• Масса тела везде одинакова, вес P = m·g зависит от планеты.

Зачем это нужно? 🚀

• Луноходы и марсоходы проектируют под местное g — иначе техника не поедет 🤖

• Перегрузки лётчиков и космонавтов измеряют в единицах g ✈️

• Траектории полётов к Луне и Марсу считают через g планет 🛰