Искусственные спутники Земли. Первая космическая скорость

Тема урока: Искусственные спутники Земли. Первая космическая скорость 📚

Цели урока 🎯

• Понять, почему спутник кружит вокруг Земли и не падает 🧠

• Вывести формулу первой космической скорости v₁ = √(g·R) 🔢

• Научиться считать её для Земли и других небесных тел 📈

Основная часть урока 📝

1. Почему спутник не падает? 🤔

Хитрость в том, что спутник всё время падает! Ньютон предложил мысленный опыт: бросай камень с высокой горы всё сильнее — он будет падать всё дальше от подножия. При достаточно большой скорости камень падает так, что поверхность Земли из-за своей кривизны «уходит» из-под него, и он летит по окружности, нигде не приземляясь. Это и есть спутник.

2. Первая космическая скорость 🔍

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, при которой тело становится спутником, двигаясь по круговой орбите у поверхности планеты. Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяжести, поэтому a = v²/R равно g:

g = v₁²/R → v₁ = √(g·R)

• v₁ — первая космическая скорость, в м/с;

• g — ускорение свободного падения у поверхности планеты, в м/с²;

• R — радиус планеты, в метрах (м).

3. Пример 1: первая космическая для Земли 🛠

g = 9,8 м/с², R = 6,4·10⁶ м.

1. v₁ = √(g·R) = √(9,8 · 6,4·10⁶).

2. Под корнем: 9,8 · 6,4·10⁶ ≈ 6,27·10⁷.

3. v₁ ≈ √(6,27·10⁷) ≈ 7,9·10³ м/с ≈ 7,9 км/с.

Проверка: (7,9·10³)² ≈ 6,2·10⁷ — сходится ✅ Это около 28 000 км/ч: от Москвы до Петербурга спутник долетел бы за полторы минуты.

4. Пример 2: первая космическая для Луны 📊

На Луне g = 1,6 м/с², R = 1,74·10⁶ м.

1. v₁ = √(1,6 · 1,74·10⁶) = √(2,78·10⁶).

2. v₁ ≈ 1,7·10³ м/с ≈ 1,7 км/с.

Почти в 5 раз меньше, чем у Земли: выводить спутники на орбиту Луны гораздо «дешевле».

5. Пример 3: период обращения спутника ✅

За какое время спутник на низкой орбите облетает Землю?

1. Период: T = 2πR/v₁, где T — время одного витка, в секундах.

2. T = 2 · 3,14 · 6,4·10⁶ / 7900 ≈ 4·10⁷/7900 ≈ 5100 с.

3. 5100 с ≈ 85 мин — примерно полтора часа на виток вокруг планеты.

6. Что будет при другой скорости 🛰

• меньше 7,9 км/с — тело упадёт на Землю, описав дугу;

• от 7,9 до 11,2 км/с — орбита из окружности вытягивается в эллипс;

• 11,2 км/с — вторая космическая скорость: тело покидает окрестности Земли 🌌

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ «На орбите нет гравитации, поэтому спутник не падает». ✅ Сила тяжести есть — именно она удерживает спутник на орбите; невесомость возникает из-за свободного падения.

• ❌ Путают первую и вторую космические скорости. ✅ 7,9 км/с — стать спутником Земли, 11,2 км/с — улететь от неё.

• ❌ Подставляют радиус в километрах. ✅ Только СИ: R = 6,4·10⁶ м, иначе ответ будет в непонятных единицах.

• ❌ Думают, что спутнику нужна вертикальная скорость. ✅ Первая космическая направлена горизонтально, по касательной к орбите.

Мини-конспект 📋

• Спутник непрерывно падает на Землю, но кривизна поверхности «уводит» её из-под него.

• Первая космическая скорость: v₁ = √(g·R).

• Для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с, для Луны ≈ 1,7 км/с.

• Период низкой орбиты: T = 2πR/v₁ ≈ 85 мин.

• Вторая космическая скорость 11,2 км/с — уход от Земли.

• Невесомость на орбите — следствие свободного падения, а не «отключения» гравитации.

Зачем это нужно? 🚀

• Навигаторы, спутниковое ТВ и прогноз погоды работают на орбитах, рассчитанных по этим формулам 🛰

• Запуск ракет: инженеры считают, до какой скорости нужно разогнать корабль 🚀

• МКС и планирование полётов космонавтов — всё держится на первой космической скорости 👨‍🚀