Наибольшее и наименьшее значения функции

Тема урока: Наибольшее и наименьшее значения функции 📚

Цели урока 🎯

• Отличать наибольшее значение на отрезке от локального максимума 🧠

• Освоить алгоритм «критические точки + концы отрезка» 🔢

• Научиться решать текстовые задачи на оптимизацию 📦

Основная часть урока 📝

1. Чем это отличается от экстремумов? 🤔

Экстремум — локальное понятие: вершина «горки» или дно «ямки». А наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b] — глобальные: это самые большие и самые маленькие значения среди всех точек отрезка. Непрерывная функция на отрезке всегда их достигает — либо в критической точке внутри, либо на конце отрезка.
✨ Важно: наибольшее значение вполне может оказаться на конце отрезка, где никакого экстремума нет.

2. Алгоритм решения 🛠

1. Найти производную f'(x).

2. Найти критические точки: f'(x) = 0.

3. Оставить только те, что попадают в отрезок [a; b].

4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах a и b.

5. Выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

3. Пример 1. Кубическая функция на отрезке 🔍

Найдём наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ − 3x + 1 на отрезке [0; 2].

1. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); нули: x = 1 и x = −1.

2. В отрезок [0; 2] попадает только x = 1.

3. Считаем: f(0) = 1; f(1) = 1 − 3 + 1 = −1; f(2) = 8 − 6 + 1 = 3.

4. Ответ: наибольшее значение 3 (при x = 2), наименьшее −1 (при x = 1).

5. Проверка: контрольная точка x = 1,5: f(1,5) = 3,375 − 4,5 + 1 = −0,125 — между −1 и 3, противоречий нет. ✅

4. Пример 2. Парабола на отрезке 🧮

f(x) = x² − 4x + 5 на отрезке [0; 3].

1. f'(x) = 2x − 4; критическая точка x = 2 — лежит в [0; 3].

2. f(0) = 5; f(2) = 4 − 8 + 5 = 1; f(3) = 9 − 12 + 5 = 2.

3. Ответ: наибольшее 5 (при x = 0), наименьшее 1 (при x = 2). Заметь: наибольшее — на конце отрезка!

4. Проверка: вершина параболы x = −(−4)/2 = 2 — совпала с критической точкой, а ветви направлены вверх, так что минимум в вершине логичен. ✅

5. Пример 3. Задача о наибольшей площади 📦

Из 20 м сетки нужно огородить прямоугольную грядку наибольшей площади. Каковы её размеры?

1. Пусть одна сторона x м, тогда вторая (20 − 2x)/2 = 10 − x м, причём 0 < x < 10.

2. Площадь: S(x) = x(10 − x) = 10x − x².

3. S'(x) = 10 − 2x; S'(x) = 0 при x = 5. Слева S’ > 0, справа S’ < 0 — максимум.

4. Ответ: квадрат 5 × 5 м, площадь 25 м².

5. Проверка: S(4) = 24 и S(6) = 24 — обе меньше 25. ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Забывают вычислить функцию на концах отрезка → ✅ конец отрезка часто и есть ответ (пример 2).

• ❌ Берут критические точки, не попадающие в отрезок → ✅ точка x = −1 в примере 1 отброшена не зря: вне [a; b] функцию не рассматриваем.

• ❌ В ответ пишут x вместо значения функции → ✅ внимательно читай вопрос: спрашивают значение f или точку x.

• ❌ В текстовых задачах не ограничивают x по смыслу → ✅ сторона грядки положительна: 0 < x < 10.

Мини-конспект 📋

• Наибольшее/наименьшее на [a; b] — глобальные значения, а не локальные экстремумы.

• Кандидаты: критические точки внутри отрезка + оба конца.

• Считаем f во всех кандидатах и сравниваем числа.

• Критические точки вне отрезка отбрасываем.

• В текстовой задаче сначала составь функцию и её область по смыслу.

• Из данного периметра наибольшую площадь даёт квадрат.

Зачем это нужно? 🚀

• Оптимизация повсюду: максимальная площадь при заданном заборе, минимальный расход материала на коробку 📦

• Экономисты ищут объём выпуска с наибольшей прибылью тем же алгоритмом 💰

• В профильном ЕГЭ это отдельное задание с производной — стабильный источник баллов 🎯