Логарифм числа. Определение и примеры

Тема урока: Логарифм числа. Определение и примеры

Цели урока

• Понять определение логарифма через степень

• Запомнить ограничения на основание и число

• Научиться вычислять логарифмы без калькулятора

Основная часть урока

1. Что такое логарифм?

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Записывают: log_a b.
Определение одной строкой: log_a b = c означает, что a^c = b.
Важно: логарифм отвечает на вопрос «в какую степень?». Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

2. Ограничения: когда логарифм существует

• Основание: a > 0 и a ≠ 1.

• Число под логарифмом: b > 0.

• Причина: степень положительного числа всегда положительна, поэтому log₂ (−4) или log₂ 0 не существуют.

3. Пример 1. Вычисляем логарифмы по определению

1. log₂ 32: спрашиваем «2 в какой степени даёт 32?» Так как 2⁵ = 32, ответ 5. Проверка: 2⁵ = 32 ✅.

2. log₃ (1/9): 3 в какой степени даёт 1/9? Так как 3⁻² = 1/3² = 1/9, ответ −2. Проверка: 3⁻² = 1/9 ✅.

3. log₇ 7 = 1, потому что 7¹ = 7.

4. log₉ 1 = 0, потому что 9⁰ = 1.

4. Пример 2. Уравнение из определения

Найдём x, если log_x 16 = 2.

1. Переписываем по определению: x² = 16.

2. Решаем: x = 4 или x = −4.

3. Вспоминаем ограничения: основание логарифма положительно и не равно 1, поэтому x = −4 отбрасываем.

4. Ответ: x = 4. Проверка: 4² = 16, значит log₄ 16 = 2 ✅.

5. Основное логарифмическое тождество

Если возвести a в степень log_a b, получится само b: a^{log_a b} = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0). Это просто определение, прочитанное в обратную сторону.
Пример: 2^{log₂ 16} = 16. Убедимся: log₂ 16 = 4, а 2⁴ = 16 — сходится ✅. Ещё пример: 3^{log₃ 5} = 5, хотя log₃ 5 — не целое число.

Типичные ошибки

• ❌ Искать логарифм нуля или отрицательного числа → ✅ под логарифмом может стоять только положительное число.

• ❌ Путать местами основание и число: читать log₂ 8 как «8 в какой степени даёт 2» → ✅ вопрос всегда про основание: «2 в какой степени даёт 8».

• ❌ Считать, что log_a 1 = 1 → ✅ log_a 1 = 0, ведь a⁰ = 1.

• ❌ Оставлять отрицательный корень для основания → ✅ основание логарифма больше нуля и не равно единице.

Мини-конспект

• log_a b — степень, в которую возводят a, чтобы получить b.

• log_a b = c ⇔ a^c = b.

• Ограничения: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

• log_a a = 1, log_a 1 = 0.

• Логарифм может быть отрицательным: log₃ (1/9) = −2.

• Основное тождество: a^{log_a b} = b.

Зачем это нужно?

• Громкость звука измеряют в децибелах — это логарифмическая шкала

• Магнитуда землетрясений и pH растворов тоже считаются через логарифмы

• Логарифм отвечает на вопрос «за сколько шагов удвоится вклад или население»