Свойства логарифмов

Тема урока: Свойства логарифмов 📚

Цели урока 🎯

• Выучить три главных свойства логарифмов 🧠

• Понять, откуда они берутся из свойств степеней 🔍

• Научиться сворачивать и разворачивать логарифмические выражения 🔢

Основная часть урока 📝

1. Три главных свойства 🤔

Все формулы работают при a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0:

• Логарифм произведения: log_a (x·y) = log_a x + log_a y.

• Логарифм частного: log_a (x/y) = log_a x − log_a y.

• Логарифм степени: log_a x^p = p·log_a x.

• Плюс два «якоря»: log_a a = 1 и log_a 1 = 0.

2. Откуда берутся формулы? 🔍

Логарифм — это показатель степени, а при умножении степеней с одним основанием показатели складываются: a^m·aⁿ = a^m+n. Поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов. Деление степеней — вычитание показателей, отсюда формула частного. Возведение степени в степень — умножение показателей, отсюда формула log_a x^p = p·log_a x.
✨ Важно: свойства логарифмов — это свойства степеней, «прочитанные наоборот».

3. Пример 1. Сумма логарифмов 🛠

Вычислим log₆ 4 + log₆ 9.

1. По отдельности эти логарифмы «некрасивые», поэтому сворачиваем сумму в произведение: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4·9) = log₆ 36.

2. 6 в какой степени даёт 36? 6² = 36, значит ответ 2.

3. Проверка: 6² = 36 = 4·9 ✅. Ответ: 2.

4. Пример 2. Разность логарифмов 🔄

Вычислим log₂ 48 − log₂ 3.

1. Сворачиваем разность в частное: log₂ (48/3) = log₂ 16.

2. 2⁴ = 16, значит ответ 4.

3. Проверка: 16·3 = 48 ✅. Ответ: 4.

Ещё один такой же: log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 27 = 3, ведь 3³ = 27 и 27·2 = 54 ✅.

5. Пример 3. Логарифм степени ✅

Вычислим log₂ 8⁴.

1. Выносим показатель вперёд: log₂ 8⁴ = 4·log₂ 8.

2. log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

3. Итого: 4·3 = 12.

4. Проверка: 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹², и log₂ 2¹² = 12 ✅. Ответ: 12.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Писать log_a (x + y) = log_a x + log_a y → ✅ формула суммы работает только для произведения под логарифмом.

• ❌ Считать log_a x − log_a y логарифмом разности → ✅ это логарифм частного x/y.

• ❌ Делить логарифмы друг на друга «по формуле частного» → ✅ log_a x / log_a y — отдельное выражение, оно не сворачивается в log_a (x/y).

• ❌ Применять свойства, не проверив знаки → ✅ все формулы работают только для положительных x и y.

Мини-конспект 📋

• log_a (x·y) = log_a x + log_a y.

• log_a (x/y) = log_a x − log_a y.

• log_a x^p = p·log_a x.

• log_a a = 1, log_a 1 = 0.

• Все формулы — только для положительных чисел под логарифмом.

• Суммы и разности логарифмов сворачивай в один логарифм — часто ответ становится целым числом.

Зачем это нужно? 🚀

• До калькуляторов инженеры умножали огромные числа, складывая их логарифмы по этим формулам 📐

• Свойства логарифмов — рабочий инструмент в логарифмических уравнениях и неравенствах ЕГЭ 🎯

• В информатике через логарифмы оценивают скорость алгоритмов 💻