Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Тема урока: Формулы суммы и разности синусов и косинусов 📚

Цели урока 🎯

• Выучить четыре формулы преобразования суммы в произведение 🧠

• Понять схему: полусумма и полуразность углов 🔑

• Научиться считать «некрасивые» суммы точно, без калькулятора 📈

Основная часть урока 📝

1. Четыре формулы 🤔

• sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2).

• sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2).

• cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2).

• cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2).
  ✨ Важно: в каждой формуле участвуют полусумма (α + β)/2 и полуразность (α − β)/2, а у разности косинусов впереди стоит минус.

2. Зачем превращать сумму в произведение? 🔍

Произведение удобнее суммы по двум причинам. Во-первых, уравнение вида «произведение равно нулю» распадается на простые: каждый множитель приравниваем к нулю. Во-вторых, полусумма и полуразность часто оказываются табличными углами — и выражение считается точно. Сами формулы выводятся из формул сложения: если сложить sin(x + y) и sin(x − y), получится 2 sin x·cos y, а затем обозначить α = x + y, β = x − y.

3. Пример 1. Сумма синусов 🛠

Вычислим sin 75° + sin 15°.

1. Полусумма: (75° + 15°)/2 = 45°; полуразность: (75° − 15°)/2 = 30°.

2. По формуле: 2 sin 45°·cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.

3. Проверка прикидкой: sin 75° ≈ 0,97, sin 15° ≈ 0,26, сумма ≈ 1,23; и √6/2 ≈ 2,45/2 ≈ 1,22 — сходится ✅.

4. Пример 2. Сумма косинусов 🔄

Вычислим cos 75° + cos 15°.

1. Полусумма 45°, полуразность 30° — те же, что и в примере 1.

2. По формуле: 2 cos 45°·cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.

3. Проверка: cos 75° ≈ 0,26, cos 15° ≈ 0,97, сумма ≈ 1,23 ≈ √6/2 ✅. Интересно: результат совпал с примером 1 — это не случайно, ведь cos 75° = sin 15° и cos 15° = sin 75°.

5. Пример 3. Разность косинусов ✅

Вычислим cos 105° − cos 15°.

1. Полусумма: (105° + 15°)/2 = 60°; полуразность: (105° − 15°)/2 = 45°.

2. По формуле с минусом: −2 sin 60°·sin 45° = −2·(√3/2)·(√2/2) = −√6/2.

3. Проверка: cos 105° ≈ −0,26, cos 15° ≈ 0,97, разность ≈ −1,23 ≈ −√6/2 ✅. Минус в формуле спас от ошибки знака.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Терять минус в формуле разности косинусов → ✅ cos α − cos β начинается с −2.

• ❌ Забывать делить сумму и разность углов на 2 → ✅ в формулах всегда полусумма и полуразность.

• ❌ Путать порядок функций в разности синусов → ✅ sin α − sin β = 2 cos(полусумма)·sin(полуразность): косинус первым.

• ❌ Писать sin α + sin β = sin(α + β) → ✅ это разные выражения: sin 30° + sin 60° ≈ 1,37, а sin 90° = 1.

Мини-конспект 📋

• Во всех четырёх формулах — полусумма и полуразность углов, впереди множитель 2.

• sin α + sin β = 2 sin(полусумма)·cos(полуразность).

• sin α − sin β = 2 cos(полусумма)·sin(полуразность).

• cos α + cos β = 2 cos(полусумма)·cos(полуразность).

• cos α − cos β = −2 sin(полусумма)·sin(полуразность) — единственная с минусом.

• Проверяй результат прикидкой по приближённым значениям.

Зачем это нужно? 🚀

• Уравнения вида sin 3x + sin x = 0 решаются превращением суммы в произведение 🎯

• В акустике сложение двух близких частот даёт биения — их описывает как раз эта формула 🎵

• В радиотехнике так раскладывают сигналы на составляющие 📡