Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тема урока: Тригонометрические функции, их свойства и графики 📚

Цели урока 🎯

• Выучить свойства функций y = sin x, y = cos x, y = tg x 🧠

• Научиться узнавать и строить их графики 📈

• Применять свойства в задачах на множество значений и период ✏️

Основная часть урока 📝

1. Функция y = sin x 🤔

График синуса — синусоида, волна, проходящая через начало координат.

• Область определения — все числа, множество значений — [−1; 1]

• Нечётная: sin (−x) = −sin x, график симметричен относительно начала координат

• Период 2π: sin (x + 2π) = sin x

• Нули: x = πn; максимум 1 при x = π/2 + 2πn, минимум −1 при x = −π/2 + 2πn

2. Функция y = cos x 🔍

График косинуса — та же синусоида, но сдвинутая на π/2 влево: cos x = sin (x + π/2). В нуле она начинается с единицы: cos 0 = 1.

• Область определения — все числа, множество значений — [−1; 1]

• Чётная: cos (−x) = cos x, график симметричен относительно оси Oy

• Период 2π; нули: x = π/2 + πn

• Максимум 1 при x = 2πn, минимум −1 при x = π + 2πn

3. Функция y = tg x 🛠

График тангенса — тангенсоида: отдельные возрастающие ветви между вертикальными асимптотами.

• Область определения: x ≠ π/2 + πn; множество значений — вся числовая прямая

• Нечётная: tg (−x) = −tg x

• Период π — вдвое меньше, чем у синуса и косинуса

• Возрастает на каждом интервале (−π/2 + πn; π/2 + πn); асимптоты x = π/2 + πn

4. Как меняется график: y = A·sin (kx) 📌

• Множитель A растягивает график по вертикали: амплитуда равна |A|

• Множитель k сжимает по горизонтали: период равен 2π/|k|

• Слагаемое вне функции сдвигает график вверх или вниз: y = sin x + 2 поднимается на 2
  ✨ Важно: для y = tg (kx) период равен π/|k|.

5. Прорешанные примеры ✏️

Пример 1. Найди множество значений функции y = 3 sin x + 1.

1. Синус пробегает значения −1 ≤ sin x ≤ 1.

2. Умножаем на 3: −3 ≤ 3 sin x ≤ 3.

3. Прибавляем 1: −2 ≤ y ≤ 4. Ответ: [−2; 4].

4. Проверка: при sin x = 1 y = 3 + 1 = 4, при sin x = −1 y = −3 + 1 = −2 — границы достигаются ✅

Пример 2. Выясни чётность функции y = sin x · cos x.

1. Находим f(−x) = sin (−x) · cos (−x) = (−sin x) · cos x = −sin x cos x.

2. Получили f(−x) = −f(x) — функция нечётная.

3. Проверка на точке: f(π/4) = (√2/2)·(√2/2) = 1/2, f(−π/4) = (−√2/2)·(√2/2) = −1/2 — действительно противоположны ✅

Пример 3. Найди период функции y = cos 2x.

1. Для y = cos (kx) период T = 2π/|k|.

2. Здесь k = 2, значит T = 2π/2 = π.

3. Проверка: cos (2(x + π)) = cos (2x + 2π) = cos 2x — значения повторяются через π ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Считают период тангенса равным 2π → ✅ у y = tg x период π

• ❌ Пишут, что синус принимает любые значения → ✅ sin x и cos x живут только в [−1; 1]

• ❌ Путают чётность: «sin — чётная» → ✅ синус нечётен (симметрия относительно начала координат), косинус чётен (симметрия относительно Oy)

• ❌ Забывают выколотые точки тангенса → ✅ x = π/2 + πn не входят в область определения, там асимптоты

Мини-конспект 📋

• sin и cos определены всюду, значения — от −1 до 1

• sin — нечётная, cos — чётная, tg — нечётная

• Период sin и cos — 2π, период tg — π

• tg x не существует при x = π/2 + πn — там вертикальные асимптоты

• График cos — синусоида, сдвинутая на π/2 влево

• y = A·sin (kx): амплитуда |A|, период 2π/|k|

• Нули: sin x = 0 при x = πn, cos x = 0 при x = π/2 + πn

Зачем это нужно? 🚀

• Кардиограмма, звук и переменный ток — периодические кривые: врач и инженер читают их как графики тригонометрических функций 💓

• График приливов близок к синусоиде — по нему в портах планируют выход судов 🌊

• Задачи на период, чётность и множество значений встречаются в ЕГЭ 🎯