Обратные тригонометрические функции

Тема урока: Обратные тригонометрические функции 📚

Цели урока 🎯

• Понять, зачем нужны arcsin, arccos, arctg и arcctg 🧠

• Запомнить промежутки значений каждой аркфункции 🔢

• Научиться вычислять аркфункции и проверять себя ✏️

Основная часть урока 📝

1. Зачем нужны обратные функции? 🤔

Прямая задача: по углу найти синус. Обратная: по значению синуса восстановить угол. Но углов с одинаковым синусом бесконечно много, поэтому договорились выбирать один «главный» угол из специального промежутка. Так появились аркфункции — «арка» здесь от латинского arcus, дуга.

2. Арксинус и арккосинус 🔍

• arcsin a — угол из [−π/2; π/2], синус которого равен a. Определён при −1 ≤ a ≤ 1

• arccos a — угол из [0; π], косинус которого равен a. Тоже только при −1 ≤ a ≤ 1

• Примеры: arcsin (1/2) = π/6, arccos (1/2) = π/3, arcsin 1 = π/2, arccos 0 = π/2
  ✨ Важно: arcsin 2 не существует — синус не бывает больше 1.

3. Арктангенс и арккотангенс 🛠

• arctg a — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Определён при любом a

• arcctg a — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен a. Тоже при любом a

• Примеры: arctg 1 = π/4, arctg √3 = π/3, arcctg 1 = π/4, arcctg 0 = π/2

4. Формулы для отрицательных аргументов 📌

• arcsin (−a) = −arcsin a и arctg (−a) = −arctg a — эти функции нечётные

• arccos (−a) = π − arccos a и arcctg (−a) = π − arcctg a — минус «выносится» через π

• Причина в промежутках: arcsin и arctg живут в симметричных промежутках вокруг нуля, а arccos и arcctg — только в неотрицательных углах

5. Прорешанные примеры ✏️

Пример 1. Вычисли arcsin (√3/2).

1. Ищем угол из [−π/2; π/2] с синусом √3/2.

2. Подходит π/3: sin (π/3) = √3/2, и π/3 лежит в нужном промежутке.

3. Ответ: arcsin (√3/2) = π/3 ✅

Пример 2. Вычисли arccos (−1/2).

1. Аргумент отрицательный — применяем формулу: arccos (−1/2) = π − arccos (1/2).

2. arccos (1/2) = π/3, значит arccos (−1/2) = π − π/3 = 2π/3.

3. Проверка: cos (2π/3) = −1/2 и 2π/3 лежит в [0; π] — верно ✅

Пример 3. Вычисли arctg (−1).

1. Арктангенс нечётен: arctg (−1) = −arctg 1.

2. arctg 1 = π/4, значит arctg (−1) = −π/4.

3. Проверка: tg (−π/4) = −1, и −π/4 лежит в (−π/2; π/2) — верно ✅

Пример 4. Вычисли cos (arcsin (3/5)).

1. Обозначим α = arcsin (3/5). Тогда sin α = 3/5 и α лежит в [−π/2; π/2].

2. На этом промежутке косинус неотрицателен: cos α ≥ 0.

3. Из sin²α + cos²α = 1: cos α = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5.

4. Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 — верно ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Пытаются вычислить arcsin 2 → ✅ arcsin и arccos определены только при |a| ≤ 1

• ❌ Пишут arccos (−a) = −arccos a → ✅ арккосинус не бывает отрицательным: arccos (−a) = π − arccos a

• ❌ Путают промежутки значений → ✅ arcsin — из [−π/2; π/2], arccos — из [0; π], arctg — из (−π/2; π/2)

• ❌ Считают, что arcsin (sin x) = x всегда → ✅ это верно лишь при x из [−π/2; π/2]: например, arcsin (sin π) = arcsin 0 = 0, а не π

Мини-конспект 📋

• arcsin a — угол из [−π/2; π/2] с синусом a, есть только при |a| ≤ 1

• arccos a — угол из [0; π] с косинусом a, только при |a| ≤ 1

• arctg a — угол из (−π/2; π/2), существует при любом a

• arcctg a — угол из (0; π), существует при любом a

• arcsin (−a) = −arcsin a, arctg (−a) = −arctg a

• arccos (−a) = π − arccos a, arcctg (−a) = π − arcctg a

• Проверка значения: попало в свой промежуток и прямая функция даёт a

Зачем это нужно? 🚀

• Кнопки sin⁻¹ и cos⁻¹ на калькуляторе — это аркфункции: так строители находят угол по сторонам треугольника 📐

• Навигаторы вычисляют направление движения через арктангенс разности координат 🗺

• Без аркфункций не записать ответ ни одного тригонометрического уравнения 🎯