Тема урока: Определения и свойства четных и нечетных функций 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберёмся, что такое чётные и нечётные функции, как их определять и какие у них свойства. Мы научимся проверять функции на чётность и нечётность, а также поймём, как это влияет на их графики! 📈

Основная часть урока 📚

1. Что такое чётные и нечётные функции? 🤔

Функция — это правило, которое каждому числу x ставит в соответствие число y. Чётные и нечётные функции — это особые виды функций, которые ведут себя по-особенному, если заменить x на -x.

• Чётная функция: Это функция, у которой значение y не меняется, если взять x или -x. Например, если подставить x и -x, то y будет одинаковым.

• Нечётная функция: Это функция, у которой значение y меняется на противоположное (минус y), если взять -x вместо x.

Пример:

• Для функции y=x²: если x=2, то y=4, а если x=-2, то y=(-2)²=4. Значения y одинаковые, значит, это чётная функция.

• Для функции y=x³: если x=2, то y=8, а если x=-2, то y=(-2)³=-8. Значение y стало противоположным, значит, это нечётная функция.

2. Как проверить, чётная функция или нечётная? 🔍

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно:

1. Подставить -x вместо x в функцию.

2. Сравнить результат с исходным y:

   • Если y не изменилось, функция чётная.

   • Если y стало противоположным (минус y), функция нечётная.

   • Если ни то, ни другое, функция ни чётная, ни нечётная.

Пример:

• Функция y=x²: При x=3, y=9. При x=-3, y=(-3)²=9. Значения одинаковые, значит, функция чётная.

• Функция y=x: При x=2, y=2. При x=-2, y=-2. Значение y противоположное, значит, функция нечётная.

• Функция y=x²+x: При x=2, y=4+2=6. При x=-2, y=(-2)²+(-2)=4-2=2. Значение y не равно ни 6, ни -6, значит, функция ни чётная, ни нечётная.

3. Свойства чётных и нечётных функций ⚖️

• Чётные функции:

  • График симметричен относительно оси y (как зеркало: левая и правая части графика одинаковые).

  • Пример: y=x² — график выглядит как парабола, одинаковая слева и справа от оси y.

• Нечётные функции:

  • График симметричен относительно начала координат (точки (0, 0)): если повернуть график на 180 градусов вокруг точки (0, 0), он совпадёт сам с собой.

  • Пример: y=x³ — график выглядит как кривая, которая симметрична при повороте вокруг начала координат.

• Если функция ни чётная, ни нечётная, её график не имеет такой симметрии.

Пример на графике:

• Для y=x² график — парабола, симметричная относительно оси y. 😎

• Для y=x³ график — кривая, симметричная при повороте вокруг точки (0, 0). 🌟

4. Как строить графики с учётом чётности и нечётности? ✏️

Знание чётности или нечётности помогает строить графики быстрее:

• Для чётной функции:

  1. Найди несколько точек для x ≥ 0 (например, x=0, x=1, x=2).

  2. Построй правую часть графика.

  3. Отрази её зеркально влево относительно оси y.

• Для нечётной функции:

  1. Найди несколько точек для x ≥ 0.

  2. Построй правую часть графика.

  3. Отрази её, повернув на 180 градусов относительно точки (0, 0).

• Если функция ни чётная, ни нечётная, строй график, вычисляя точки для положительных и отрицательных x.

Пример: Для y=x² (чётная):

• При x=0: y=0 (точка (0, 0)).

• При x=1: y=1 (точка (1, 1)).

• При x=2: y=4 (точка (2, 4)).

• Отражаем точки влево: (1, 1) → (-1, 1), (2, 4) → (-2, 4). Соединяем — парабола.

Практика 🛠️

Проверим функции на чётность и нечётность и построим их графики:

• y=x²: При x=2, y=4; при x=-2, y=4. Чётная функция. График — парабола, симметричная относительно оси y.

• y=x³: При x=1, y=1; при x=-1, y=-1. Нечётная функция. График — кривая, симметричная относительно (0, 0).

• y=x+1: При x=1, y=2; при x=-1, y=0. Ни чётная, ни нечётная. График — прямая, не симметричная.