Тема урока: Числовые функции. Свойства функции 😊

Цели урока 🎯

Сегодня мы разберём, что такое числовые функции и какие у них есть свойства. Мы научимся понимать, как функции работают, и изучим их особенности, такие как возрастание, убывание и другие. Всё будет просто, с примерами и смайлами, чтобы каждый понял! 🚀

Что такое числовая функция? 🤔

Числовая функция — это правило, которое каждому числу x (из определённого набора) ставит в соответствие одно число y. Например, в функции y = x + 3:

• Если x = 2, то y = 2 + 3 = 5.

• Если x = -1, то y = -1 + 3 = 2.
  Функция — это как волшебная коробка: кладёшь x, а она выдаёт y! ⚙️

Область определения функции 🔍

Область определения — это все значения x, которые можно подставить в функцию. Например:

• Для y = 2x, область определения — все числа, так как умножение работает для любого x.

• Для y = 1/(x — 2), нельзя делить на ноль, поэтому x ≠ 2. Область определения — все числа, кроме x = 2. 📏

Свойства функции 🌟

Свойства функции помогают понять, как она ведёт себя. Вот основные свойства, которые мы изучим:

1. Возрастание и убывание:

   • Функция возрастает, если при увеличении x значение y тоже увеличивается. Например, в y = x, если x растёт (1, 2, 3), то y тоже растёт (1, 2, 3).

   • Функция убывает, если при увеличении x значение y уменьшается. Например, в y = -x, если x = 1, то y = -1, а если x = 2, то y = -2.

2. Нули функции: Это значения x, при которых y = 0. Например, для y = x — 4, нуль будет при x = 4, так как 4 — 4 = 0.

3. Чётность и нечётность:

   • Функция чётная, если y(-x) = y(x). Например, y = x²: если x = 2, то y = 4, и если x = -2, то y = (-2)² = 4. График симметричен относительно оси y.

   • Функция нечётная, если y(-x) = -y(x). Например, y = x: если x = 2, то y = 2, а если x = -2, то y = -2.

   • Если ни то, ни другое — функция ни чётная, ни нечётная (например, y = x + 1).

Пример:

Рассмотрим функцию y = x² — 1:

• Область определения: все числа, так как квадрат можно взять от любого x.

• Нули: x² — 1 = 0 → x = 1 или x = -1.

• Чётность: y(-x) = (-x)² — 1 = x² — 1 = y(x), значит, функция чётная.

• Возрастание/убывание:

  • Для x > 0, если x растёт (1, 2, 3), то y растёт (y = 0, 3, 8).

  • Для x < 0, если x уменьшается (-1, -2, -3), то y растёт (y = 0, 3, 8).
    Значит, функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0. 😎

Как изучать свойства функции? 🛠️

1. Найди область определения — проверь, какие x можно подставить.

2. Найди нули — реши уравнение y = 0.

3. Проверь чётность/нечётность — подставь -x и сравни с y(x).

4. Определи возрастание/убывание — посмотри, как меняется y при изменении x.
   Эти шаги помогут понять, как ведёт себя функция! 📈

Зачем это нужно? 🌍

Свойства функций помогают:

• Понять, как изменяются величины (например, как скорость влияет на путь). 🚴

• Строить графики функций, чтобы видеть их поведение. 📊

• Решать задачи, где нужно знать, растёт или уменьшается значение. 💡