Числовые выражения

Все вы, наверняка, слышали такое слово русского языка: «выражение». Некоторые из вас даже знают, что оно означает. Сегодня мы с вами познакомимся немного с другими выражениями, которые имеют отношение уже к математике: так называемыми числовыми и буквенными выражениями.

Задача 1. В одном бидоне было 7 литров молока, а в другом на 2 литра меньше. Сколько всего литров молока было в двух бидонах?

Решение

1. Найдем, сколько литров молока было во втором бидоне. Для этого из 7 вычтем 2 и получим 5 (литров). Столько молока во втором бидоне.

2. Прибавим 7 литров, которые находятся в первом бидоне, и 5 литров, которые находятся во втором. Получим 12 литров.

Это и есть ответ.

Эту задачу можно решить и по-другому.

Выпишем в одну строку, сколько литров молока в двух бидонах. Для этого выпишем, сколько литров в первом – 7, и прибавим, сколько литров во втором (во втором на 2 литра меньше чем в первом, 7 – 2).

Мы взяли выражение  в скобки, чтобы показать, что речь о втором бидоне.

 – это числовое выражение, которое показывает, сколько у нас литров в двух бидонах. Мы можем вычислить это числовое выражение ровно по тем действиям, о которых мы говорили выше. Тем не менее этот вид тоже очень полезен, и он может быть даже важнее, чем умение считать по действиям.

Числовое выражение – это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

 – один из примеров числового выражения.

Можно привести и другой пример: 

Это также числовое выражение: в нем есть числа, знаки арифметических действий и скобки.

Зачем же нужны числовые выражения?

На самом деле, их основное удобство в том, что вы получаете более полную картину того, что происходит в задаче или примере. Одно дело, когда вы выполняете пример по действиям, когда вы понимаете, что сначала первое действие, затем, независимо от первого, есть второе, потом третье. Во время первого действия вы не думаете, что будете делать вторым действием, третьим и т. д.

Если же вам дан числовой пример в целом, то вы можете оценить и, как мы потом научимся, упростить его. Это очень важно, потому что это может довольно существенно сократить вычисления.

Задача 2. У Кости было 38 конфет. Сначала он отдал 19 конфет брату, потом папа подарил ему 19 конфет, а затем мама подарила ему еще 12 конфет. Сколько конфет стало у Кости?

Попробуем решить эту задачу по действиям.

1.  – столько конфет осталось у Кости после того, как он отдал брату 19 конфет.
2. После этого папа подарил Косте 19 конфет.

3. Мама подарила еще 12 конфет.

 – столько в итоге стало конфет у Кости.

Ответ: 50 конфет

Попробуем решить нашу задачу по-другому, составив числовое выражение.

Исходно было 38 конфет:

19 конфет отдал брату:

19 получил от папы:

И 12 получил от мамы:

Посмотрим на получившееся выражение внимательнее. Нетрудно видеть, что мы сначала отнимаем 19, потом прибавляем 19. Это мы заметили только теперь, когда расписали не по действиям, а в виде единого выражения. И мы можем заметить, что, вычитая 19 и прибавляя 19, мы ничего не изменим. Значит, нужно просто к 38 прибавить 12. Получится 50.

Это и есть упрощение выражения. В дальнейшем вы научитесь выполнять подобные вещи, чтобы считать быстрее.

Еще раз отметим: когда мы решали задачу по действиям, мы не думали о втором действии, выполняя первое. Во втором же случае перед нами полная картина всех действий, которые нам предстоит выполнить. И именно поэтому мы смогли упростить выражение и, соответственно, облегчить себе вычисления, сделав из трех действий одно.

Если другая составляющая того, зачем необходимо вводить понятие числового выражения.

Представьте себе, что у вас написан длинный-длинный пример. Как его назвать?

Чтобы не говорить «вот это числа, сложенные в скобочках и без», просто скажем «числовое выражение». То есть мы ввели новое понятие, которое будем использовать в дальнейшем при решении различных задач.

Иногда числовые выражения, которые мы записываем, просто не имеют смысла.

Казалось бы, если мы пишем числа, действия и скобки, ничего противоестественного произойти не может. Тем не менее рассмотрим, например, такое выражение

.

Вы знаете, что . Значит, 3 необходимо разделить на ноль. Как вы знаете, на ноль делить нельзя. Поэтому такое выражение смысла не имеет.

Алгебраические выражения

Чем алгебраические выражения отличаются от числовых? Числовые или арифметические выражения имеют дело только с числами, знаками действий и скобками. Алгебраические выражения дополнительно имеют дело с буквами.

Алгебраическое выражение (буквенное выражение) – это запись, составленная из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

Рассмотрим выражение:

Кажется, бред: к букве прибавляем число. Это напоминает ситуацию из одного произведения Джанни Родари: там героям был задан шуточный вопрос: «А ну попробуй отгадать, сколько будет кот плюс пять?». Действительно, странно прибавлять к букве или к коту какое-то число. Как же это возможно?

На самом деле, загвоздка в том, что буква тоже обозначает некоторое число. Просто это число в данный момент нам не известно. Зато при конкретном значении этой буквы, например  мы можем вычислить значение этого выражения.

При  

Поэтому букв в выражениях бояться не надо. Мы можем написать и более «страшное» выражение. Например,

Это тоже алгебраическое выражение.

Задача 3. Велосипедист едет со скоростью 20 километров в час. Сколько километров он проехал?

Наверное, вы недоумеваете: как же определить, сколько он проехал, если не известно, сколько времени он двигался.

Решим эту задачу для некоторых частных случаев.

1. Пусть он ехал 1 час со скоростью 20 километров в час. Сколько тогда он проехал километров?

2. Пусть он ехал три часа. Сколько тогда он проехал километров?

Мы можем сформулировать много таких задач. Заменим множество этих задач одной:

Пусть он ехал x часов. Сколько тогда он проехал километров?

Как мы знаем, для того чтобы найти расстояние, мы должны умножить скорость на время. То есть:

Мы получили алгебраическое выражение, которое отражает, сколько километров проедет велосипедист за х часов. С помощью алгебраического выражения мы смогли выразить одну величину, которая нам интересна (расстояние), через другую (время).

Задача 4. У Пети было на 3 конфеты больше, чем у Васи. Сколько конфет у них вместе?

Мы не можем решить эту задачу, так как не знаем, ни сколько конфет было у Пети, ни сколько конфет было у Васи.

Предположим, что у Васи x конфет.

Тогда у Пети на 3 больше, то есть  конфеты.

Значит, у них вместе  конфет.

Данное алгебраическое выражение показывает, сколько конфет у ребят вместе.

Обратите внимание, что, записав это выражение, мы фактически решили исходную задачу для всех возможных начальных данных. Если нам будет дано, что у Васи было 20 конфет, то мы просто подставим вместо х число 20 и получим общее количество конфет.

При : .

При : .

То есть, выписав алгебраическое выражение, мы смогли решить задачу в общем виде, независимо от того, каковы были начальные данные.

Зачем же нужны алгебраические выражения?

Как мы только что убедились, они позволяют выразить одну величину через другую. Это очень важно. Нам это пригодиться в течение всего обучения. Мы с вами научимся также упрощать алгебраические выражения, как и числовые. Поэтому то понятие, которое мы ввели сегодня, переоценить очень сложно.

Заключение

Мы познакомились с двумя понятиями: числовыми и алгебраическими выражениями. Мы узнали, что это такое, примерно поняли, зачем они нужны. На дальнейших уроках мы научимся упрощать выражения, использовать их и еще лучше поймем их предназначение.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Теоретический материал (Источник)
2. Теоретический материал (Источник)
3. Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)

Домашнее задание:

1. Найдите значение выражения:

а) (46 + 37) – (34 − 15);

б) (496 − 353) ∙ 2;

в) 36 : 12 + 14 ∙ 2;

г) (319 + 137) : 8.

2. Запишите выражение:

а) разность 35 + x и 81;

б) сумма 43 – 2a и b + 7;

в) произведение 3 – x и y : 4;

г) разность 25 – 3x и 57 + m.

3. Вычислите:

а) 154 – 3a, при a = 12;

б) 297 + 5b – 3, при b = 54;

в) 3a + 5 + 4b – 1, при a = 3, b = 7.

4. Маша купила х кг черешни. Затем она отдала 2 кг своей подруге Кате. Сколько осталось килограмм ягоды у Маши? Составьте выражение и найдите его значение при х = 5, х = 12, х = 2.