Введение. Формула чисел Фибоначчи

Упражнение. Необходимо посмотреть на экран и запомнить следующий ряд чисел в течение следующих 5–7 секунд:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Затем, не смотря на экран, попробуйте записать их на бумаге.

Не стоит переживать, если не вышло, так как существует формула, которая позволяет построить этот ряд.

Формула имеет следующий вид:

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих.

Выпишем две единицы. Третий член получим как их сумму:

Четвертый является суммой 1 и 2:

Следующий уже как сумму 2 и 3:

Затем:

И так далее 21, 34, 55, 89, 144, 233 …ряд можно продолжать до бесконечности.

Такой ряд называется рядом чисел Фибоначчи, по имени средневекового математика, который изучал эти числа.

Теперь, зная формулу чисел Фибоначчи, каждый может взять бумагу и написать любое количество этих чисел. Формула позволяет освободить память, автоматизировать вычисления.

Сами числа Фибоначчи играют очень важную роль в физике и биологии.

Формулы

В математике и других науках используются разные формулы. Все они упрощают работу, экономят время и силы. Формулу создают один раз, а потом постоянно ими пользуются.

Есть 4 типа формул, с которыми человек обычно сталкивается. Все эти 4 типа и будут рассмотрены на уроке.

Формула-определение

Часто формула является определением новой величины.

Рассмотрим два примера:

1) Формула скорости

Задача. Машина ехала 6 часов, проехала 480 км. Какова была скорость машины?

На самом деле, сначала надо ответить на другой вопрос: что такое скорость?

Время и расстояние понятны. Они наблюдаемые величины. 6 часов мы отмерили с помощью часов, расстояние измерили с помощью километровых столбиков на дороге.

А вот на вопрос «что такое скорость автомобиля» мы как раз и отвечаем формулой.

Определение.

Скорость, а вернее средняя скорость, – это расстояние, деленное на время.

Данная формула и есть ее определение. То есть это уже величина не наблюдаемая, а вычисляемая.

Теперь можно вычислить решение задачи:

2) Длина окружности

Люди давно заметили, что соотношение длины окружности и ее диаметра постоянно.

То есть если длину окружности делить на длину диаметра, то всегда получается одна и та же величина, какого бы размера ни была окружность.

Эту величину, это число, назвали  (пи).

Данная формула является определением числа .

Чаще ее можно увидеть в другой эквивалентной форме:

Задача. Найти длину окружности, радиус которой равен 20 см. (Рис. 1.)

Рис. 1. Окружность с радиусом 20 см

Решение:

Формула чисел Фибоначчи тоже является формулой-определением чисел Фибоначчи.

Формула-теорема

На рисунке можно увидеть прямоугольник с высотой  и шириной . Внутри прямоугольника вписан треугольник. Вопрос: какую часть прямоугольника он занимает (рис. 2)?

Рис. 2. Прямоугольник с вписанным треугольником

Ответить сразу на этот вопрос не получится. Проведем отрезок из верхней точки треугольника вниз (рис. 3), то есть высоту треугольника. Эта высота тоже будет равна .

Левая часть треугольника занимает половину левого прямоугольника, правая – половину правого. Очевидно, весь треугольник занимает половину всего прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с вписанным треугольником с высотой 

Значит, его площадь равна половине прямоугольника.

Так как площадь прямоугольника равна произведению одной стороны на другую (), то площадь треугольника:

где – основание треугольника,  – его высота.

Эта формула была выведена, доказана, а не использована в качестве определения. Обычно такие формулы называют еще теоремами.

Для чего нужна эта формула? Понятно, если известны основание треугольника и его высота, то возможно найти площадь.

Но эта формула сообщает еще один удивительный факт.

Как бы ни была передвинута вершина треугольника, основание и высота у него не меняются, а значит, и площадь не меняется тоже (рис. 4).

Рис. 4. Передвижение вершины треугольника

Экспериментальная формула

Часто люди видят, что одно явление зависит от других. Но сделать математическую запись этой зависимости обычно очень непросто.

Так, например, давно было понятно, что если тело толкать или тащить с разной силой, то результат будет разный. Но как описать эту зависимость, долго было не понятно.

Ньютон сформулировал это в виде формулы, которая называется вторым законом Ньютона:

где  – сила, которая действует на тело; – масса тела.

Она описывает такое свойство: во сколько раз больше сила, которая действует на тело, во столько раз быстрее тело разгоняется. Эту величину – скорость разгона – называют ускорением.

Формула-тождество

Формула квадрата суммы

Пусть есть два числа  и . Что означает запись ?

Это значит, что умножается само на себя.

Известно, что это произведение равно площади квадрата с такой стороной. Потому вторая степень и называется квадратом. Проведены две вспомогательные линии. Большой квадрат разбивается на 4 части (рис. 5).

Тогда площадь большого квадрата равна сумме всех четырех фигур:

Эта формула позволяет упрощать вычисления. Она так и называется, формулой сокращенного умножения.

Рис. 5. Большой квадрат, разбитый на 4 части

Пример: 

Задание. Задан прямоугольник со сторонами  и  и квадрат со стороной . Напишите самостоятельно формулы периметров для каждой фигуры и формулу площади квадрата.

Вспомним, что периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Обозначается большой латинской буквой .

Проверка.

Периметр прямоугольника равен сумме его четырех сторон. Так как противоположные стороны равны, то получаем:

У квадрата все стороны равны, поэтому его периметр:

Квадрат является прямоугольником, его площадь равна произведению двух соседних сторон, но они равны друг другу:

Полученные формулы периметров и площади настолько просты, что нет никакой нужды их запоминать. Каждый раз, когда понадобится найти периметр или площадь таких фигур, можно будет опираться на смысл этих понятий.

Что на самом деле является полезным умением – это переписывать формулу в том виде, который нам более удобен в данный момент.

Задача 1

Нужно в компьютер ввести формулу для расчета времени движения автобуса. Расстояние и средняя скорость будут меняться (разные маршруты, разное состояние дорог).

Мы знаем, что средняя скорость задается своей формулой:

Но нам нужна формула для расчета времени. Перенесем  в левую часть формулы, скорость, наоборот, в правую:

Получили формулу для расчета времени в пути. Это та же самая формула, но записанная в другом, эквивалентном, виде.

Что изменится, если расстояние меняться не будет (маршрут всегда один) и составит 350 км? Меняется только средняя скорость из-за погодных условий. Так как расстояние не меняется, то подставим его в формулу:

Новая формула пригодна для расчета времени только для этого конкретного маршрута, но зато требует ввода только одного значения, а не двух.

Найдем с помощью нее необходимое время на дорогу, если средняя скорость составляет 40 км/ч, 50 км/ч, 60 км/ч:

Ответ: , , 

Задача 2

Банки краски хватает на покраску 15 кв. метров забора. Какой длины часть забора можно покрасить, если у нас одна банка?

Решение        

Понятно, что до тех пор, пока мы не знаем высоту забора, мы не сможем ответить на эти вопросы. Но мы можем подготовиться, составить формулы для вычисления этой длины. Как только высота забора будет известна, мы подставим ее в формулу и найдем длину.

Итак, покрашенная часть забора – это прямоугольник. Высоту забора обозначим , а длину покрашенной части –  (рис. 6).

Рис. 6. Закрашенный участок стены

Площадь, закрашенная с помощью одной банки, – , но она же .

Выразим длину :

Если банка была одна, то покрашенная площадь равна .

Мы получили формулу для расчета.

Если теперь мы узнаем высоту забору, то легко найдем длину окрашенной части забора (; ; ):

Ответ: ; ; .

Вывод

На этом уроке было изучено, что формула – это алгоритм («Подумали один раз, вывели формулу, а пользуемся всю жизнь»).

Кроме того, было выделено 4 типа формул: формула-определение, формула-теорема, экспериментальная формула, математическое тождество.

Также следует запомнить, что формулу можно записывать в разных эквивалентных видах, в зависимости от того, какую величину мы хотим вычислять.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика: учеб. для 5 кл. общеобр. учр. 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011.
3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006.
4. Хлевнюк Н.Н., Иванова М.В.. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)
2. Интернет портал «Математика онлайн» (Источник)
3. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)
    

Домашнее задание

1. Какова была средняя скорость автомобиля, если расстояние в 432 км он проехал за 6 часов?
2. Чему равна площадь треугольника с высотой 5 см и основанием 7 см?
3. Найдите длину окружности, если она в три раза больше той окружности, радиус которой равен 15 см.