Формулы сложения
Тема урока: Формулы сложения 📚
Цели урока 🎯
Выучить формулы синуса и косинуса суммы и разности 🧠
Запомнить, где знак сохраняется, а где меняется 🔁
Научиться точно считать функции «некруглых» углов вроде 15° и 75° 📈
Основная часть урока 📝
1. Все формулы сложения 🤔
sin(α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β.
sin(α − β) = sin α·cos β − cos α·sin β.
cos(α + β) = cos α·cos β − sin α·sin β.
cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β.
tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α·tg β); tg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α·tg β).
✨ Важно: у синуса знак в правой части совпадает со знаком слева, у косинуса — противоположный.
2. Как запомнить структуру? 🔍
У синуса функции «перемешаны»: синус-косинус плюс косинус-синус. У косинуса — «одинаковые пары»: косинус-косинус и синус-синус. Проверить себя легко на известном угле: sin 90° = sin(60° + 30°) = sin 60°·cos 30° + cos 60°·sin 30° = (√3/2)·(√3/2) + (1/2)·(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1 — верно, sin 90° = 1 ✅.
3. Пример 1. Вычисляем cos 75° 🛠
Раскладываем угол на табличные: 75° = 45° + 30°.
По формуле: cos 75° = cos 45°·cos 30° − sin 45°·sin 30°.
Подставляем: (√2/2)·(√3/2) − (√2/2)·(1/2) = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4.
Проверка прикидкой: (2,45 − 1,41)/4 ≈ 0,26 — маленькое положительное число, как и должно быть у косинуса угла, близкого к 90° ✅.
4. Пример 2. Вычисляем sin 15° 🔄
Раскладываем: 15° = 45° − 30°.
По формуле: sin 15° = sin 45°·cos 30° − cos 45°·sin 30°.
Подставляем: (√2/2)·(√3/2) − (√2/2)·(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ 0,26.
Проверка: получили sin 15° = cos 75° — так и должно быть: углы 15° и 75° дополняют друг друга до 90° ✅.
5. Пример 3. Упрощаем выражение ✅
Упростим cos(α − β) − cos(α + β).
Раскрываем обе скобки: (cos α·cos β + sin α·sin β) − (cos α·cos β − sin α·sin β).
Косинусные произведения сокращаются, синусные складываются: 2 sin α·sin β.
Проверка при α = 60°, β = 30°: слева cos 30° − cos 90° = √3/2 − 0 = √3/2; справа 2·(√3/2)·(1/2) = √3/2 — совпало ✅.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Писать sin(α + β) = sin α + sin β → ✅ синус суммы раскрывается только по формуле сложения.
❌ Забывать про смену знака у косинуса: cos(α + β) с плюсом → ✅ у косинуса суммы в правой части минус.
❌ Путать знаменатель тангенса: ставить 1 + tg α·tg β в формуле суммы → ✅ в сумме знаменатель 1 − tg α·tg β.
❌ Не проверять ответ → ✅ подставь табличные углы и сверь с известным значением.
Готовишься к контрольной? 🎓
В контрольных по тригонометрии формулы сложения — самый частый источник потерянных баллов: один неверный знак рушит всё решение. В онлайн-школе «Моя школа LS» (с 1 по 11 класс) учитель на живых занятиях в малой группе отрабатывает формулы до автоматизма именно на твоих ошибках.
Мини-конспект 📋
sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β — знак сохраняется.
cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β — знак меняется.
tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α·tg β).
«Некруглые» углы раскладывай на табличные: 15° = 45° − 30°, 75° = 45° + 30°.
sin 15° = cos 75° = (√6 − √2)/4; sin 75° = cos 15° = (√6 + √2)/4.
Самопроверка — подстановка табличных углов.
Зачем это нужно? 🚀
Из формул сложения выводится почти вся остальная тригонометрия: двойные углы, произведения, суммы 🧩
В физике так складывают колебания и волны с разными фазами 🌊
В задачах ЕГЭ формулы сложения прячутся в упрощении выражений 🎯
Четыре основные: sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β и cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β, плюс тангенс суммы и разности. Ключевая деталь: у синуса знак сохраняется, у косинуса — меняется на противоположный.
- Раскладываем: 75° = 45° + 30°.
- sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30°.
- Считаем: (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,97.
- Проверка: 75° близко к 90°, синус должен быть близок к 1 — сходится.
Запомни короткое правило: «синус — знак тот же, косинус — знак другой». А перед контрольной проверь себя подстановкой: раскрой sin 90° как sin(60° + 30°) — если получилась единица, формулу помнишь верно.
Оцените урок:
