Тема урока: Функции y=k/x, y=√x, y=|x| 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы познакомимся с тремя интересными функциями: y=k/x, y=√x и y=|x|. Мы разберём, как они устроены, как выглядят их графики и какие у них свойства. А ещё научимся строить эти графики и поймём, как они ведут себя! 📈

Основная часть урока 📚

1. Что такое функция y=k/x? 🤔

Функция y=k/x — это зависимость, где значение y зависит от x, делённого на коэффициент k. Здесь:

• x — это переменная, которую мы выбираем (но x ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя!).

• y — это результат функции.

• k — это коэффициент, который влияет на форму графика.

Пример: Если y=6/x, то при x=2: y=6/2=3, а при x=3: y=6/3=2.

Свойства функции y=k/x:

• График — это гипербола (две изогнутые ветви, которые не касаются осей x и y) 📉.

• Если k > 0, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях (x и y либо оба положительные, либо оба отрицательные).

• Если k < 0, ветви гиперболы находятся во второй и четвёртой четвертях.

• График никогда не пересекает оси x и y, потому что y=0 или x=0 невозможно.

• Чем больше |x|, тем ближе y к 0, а чем меньше |x|, тем больше |y|.

Пример на графике: Для y=4/x при x=4: y=4/4=1, при x=1: y=4/1=4. График — это гипербола, которая «убегает» далеко, когда x маленький, и приближается к осям, когда x большой. 😎

2. Что такое функция y=√x? 🌟

Функция y=√x — это зависимость, где y равно квадратному корню из x. Здесь:

• x — это переменная, которая должна быть x ≥ 0 (нельзя извлечь корень из отрицательного числа).

• y — это результат функции, который всегда y ≥ 0.

Пример: Если y=√x, то при x=4: y=√4=2, при x=9: y=√9=3.

Свойства функции y=√x:

• График — это полупарабола, которая начинается в точке (0, 0) и идёт вверх вправо ⬆️.

• График находится только в первой четверти (x ≥ 0, y ≥ 0).

• Чем больше x, тем медленнее растёт y (например, √100=10, а √400=20, хотя x увеличился в 4 раза, y — только в 2).

• Функция возрастает: если x увеличивается, то y тоже растёт.

Пример на графике: Для y=√x точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2). График — плавная кривая, которая начинается в начале координат и медленно поднимается. 😊

3. Что такое функция y=|x|? ⚖️

Функция y=|x| — это зависимость, где y равно абсолютному значению x (то есть расстоянию от x до 0, всегда неотрицательное). Здесь:

• x — это любая переменная (может быть любым числом).

• y — это результат, который всегда y ≥ 0.

Пример: Если y=|x|, то при x=3: y=|3|=3, при x=-3: y=|-3|=3.

Свойства функции y=|x|:

• График — это V-образная линия, которая проходит через точку (0, 0) и имеет две симметричные ветви 📐.

• График находится в первой и второй четвертях (y ≥ 0).

• Если x ≥ 0, то y=x, и график — это прямая, идущая вверх вправо.

• Если x < 0, то y=-x, и график — это прямая, идущая вверх влево.

• Функция симметрична относительно оси y: для x и -x значение y одинаковое.

Пример на графике: Для y=|x| точки: (-2, 2), (0, 0), (2, 2). График выглядит как буква V с вершиной в (0, 0). 😄

4. Как строить графики? ✏️

• Для y=k/x:

1. Выбери несколько значений x (положительных и отрицательных, но не 0).

2. Вычисли y, подставляя x в формулу y=k/x.

3. Поставь точки и соедини их плавными кривыми, чтобы получилась гипербола.

• Для y=√x:

1. Выбери x ≥ 0 (например, 0, 1, 4, 9).

2. Вычисли y, извлекая квадратный корень из x.

3. Поставь точки и соедини их плавной кривой, начинающейся в (0, 0).

• Для y=|x|:

1. Выбери несколько x (положительных и отрицательных).

2. Вычисли y, взяв |x|.

3. Поставь точки и соедини их прямыми линиями, образующими V-образный график.

Практика 🛠️

Попробуем построить графики для y=2/x, y=√x и y=|x|:

• Для y=2/x: при x=1: y=2/1=2, при x=2: y=2/2=1, при x=-1: y=2/(-1)=-2. График — гипербола в первой и третьей четвертях.

• Для y=√x: при x=0: y=√0=0, при x=1: y=√1=1, при x=4: y=√4=2. График — полупарабола, идущая вверх вправо.

• Для y=|x|: при x=-2: y=|-2|=2, при x=0: y=|0|=0, при x=2: y=|2|=2. График — V-образная линия.