Идеальный газ. Основное уравнение МКТ

Тема урока: Идеальный газ. Основное уравнение МКТ 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что за модель — идеальный газ 🧠

• Разобрать основное уравнение МКТ и смысл каждой буквы 🔢

• Научиться считать давление и скорость молекул 🛠

Основная часть урока 📝

1. Модель идеального газа 🤔

Идеальный газ — упрощённая модель реального газа. В ней принимают:

• молекулы — материальные точки: их собственный объём ничтожен по сравнению с объёмом сосуда;

• на расстоянии молекулы не взаимодействуют — притяжением пренебрегаем;

• соударения молекул друг с другом и со стенками абсолютно упругие.

Обычный воздух при комнатных условиях очень близок к этой модели.

2. Основное уравнение МКТ 🔍

Давление газа создают удары молекул о стенки сосуда. Основное уравнение МКТ:

p = (1/3) · n · m₀ · v², где p — давление газа (Па), n — концентрация молекул, то есть их число в единице объёма (1/м³), m₀ — масса одной молекулы (кг), v² — средний квадрат скорости молекул (м²/с²).

Через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы Ē = m₀v²/2 (Дж) то же уравнение записывают короче:

p = (2/3) · n · Ē

3. Связь с температурой 🌡

Средняя энергия молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре: Ē = (3/2) · k · T, где k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура (К). Подставив это в основное уравнение, получаем компактную формулу p = n · k · T.

Средняя квадратичная скорость молекул: v_кв = √(3kT/m₀) = √(3RT/M), где R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, M — молярная масса газа (кг/моль).

4. Задача 1: давление через энергию 🛠

Концентрация молекул газа n = 2,5·10²⁵ 1/м³, средняя энергия молекулы Ē = 6·10⁻²¹ Дж. Найдём давление.

1. Формула: p = (2/3) · n · Ē.

2. Подстановка: p = (2/3) · 2,5·10²⁵ · 6·10⁻²¹ = (2/3) · 1,5·10⁵ = 1·10⁵ Па.

3. Ответ: 10⁵ Па — примерно атмосферное давление, число реалистичное ✔.

5. Задача 2: энергия молекулы при 300 К 🧮

1. Ē = (3/2) · k · T = 1,5 · 1,38·10⁻²³ · 300.

2. 1,5 · 1,38 = 2,07; 2,07 · 300 = 621. Значит Ē = 621·10⁻²³ = 6,21·10⁻²¹ Дж.

3. Ответ: 6,21·10⁻²¹ Дж. Заметь: энергия зависит только от температуры, а не от сорта газа.

6. Задача 3: скорость молекул кислорода 🚀

Найдём среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при T = 300 К.

1. Молярная масса кислорода: M = 32 г/моль = 0,032 кг/моль.

2. v_кв = √(3RT/M) = √(3 · 8,31 · 300/0,032).

3. Числитель: 3 · 8,31 · 300 = 7479. Делим: 7479/0,032 ≈ 233 700 м²/с².

4. v_кв = √233 700 ≈ 483 м/с. Ответ: около 480 м/с — почти полкилометра в секунду!

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Подставляют температуру в °C. → ✅ В формулах МКТ — только кельвины: 27 °C = 300 К.

• ❌ Берут молярную массу в г/моль. → ✅ В СИ: 32 г/моль = 0,032 кг/моль.

• ❌ Путают среднюю квадратичную скорость и средний квадрат скорости. → ✅ v_кв = √(v²): сначала средний квадрат, потом корень.

• ❌ Теряют множители 1/3 и 2/3. → ✅ p = (1/3)nm₀v², но p = (2/3)nĒ — проверяй, какая форма нужна.

Мини-конспект 📋

• Идеальный газ: молекулы-точки, нет притяжения, упругие удары.

• p = (1/3)nm₀v² = (2/3)nĒ.

• Ē = (3/2)kT, где k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.

• p = nkT.

• v_кв = √(3RT/M), M — в кг/моль.

• Температура — только абсолютная (К).

Зачем это нужно? 🚀

• Давление в шинах и газовых баллонах считают по этим формулам 🚗

• Атмосфера и погода: почему давление падает с высотой 🏔

• Вакуумная техника и производство микросхем требуют точного контроля давления газа 💻