Решение квадратных неравенств. Метод интервалов
Тема урока: Решение квадратных неравенств методом интервалов 📚
Цели урока 🎯
Понять, что такое квадратные неравенства 🧠
Освоить метод интервалов для их решения 🔢
Научиться показывать решения на числовой прямой 📈
Основная часть урока 📝
1. Что такое квадратное неравенство? 🤔
Квадратное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) возводится в квадрат, и оно сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:
x² — 5 > 0
x² + 3x — 4 ≤ 0
✨ Важно: Решение — это все значения x, которые делают неравенство верным.
2. Что такое метод интервалов? 🔍
Метод интервалов — это способ найти, где выражение в неравенстве положительное или отрицательное. Он разбивает числовую прямую на части (интервалы) и проверяет знаки выражения в каждой из них.
Шаги:
Найти корни уравнения (где выражение равно 0).
Разделить числовую прямую на интервалы с помощью этих корней.
Проверить знак выражения в каждом интервале.
Выбрать интервалы, где знак соответствует неравенству.
3. Решение квадратного неравенства шаг за шагом 🛠
Рассмотрим неравенство: x² — 4 > 0
Найти корни: Решаем x² — 4 = 0 → x² = 4 → x = 2, x = -2.
Разложить выражение: x² — 4 = (x — 2)(x + 2).
Разделить числовую прямую: Корни -2 и 2 делят прямую на три интервала:
Левее -2 (x < -2)
Между -2 и 2 (-2 < x < 2)
Правее 2 (x > 2)
Проверить знаки:
Возьмем x = -3 (для x < -2): (-3 — 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = положительное.
Возьмем x = 0 (для -2 < x < 2): (0 — 2)(0 + 2) = (-2)(2) = отрицательное.
Возьмем x = 3 (для x > 2): (3 — 2)(3 + 2) = (1)(5) = положительное.
Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -2 или x > 2.
Ответ: x < -2 или x > 2.
4. Показ решений на числовой прямой 📊
Ставим точки на корнях (x = -2 и x = 2). Для строгого неравенства (>) кружки пустые.
Рисуем стрелки влево от -2 и вправо от 2, где выражение положительное.
✨ Для нестрогих неравенств (≥, ≤) кружки закрашиваем, включая корни в решение, если они подходят.
5. Проверка решения ✅
Подставляем число из ответа в неравенство.
Пример: Для x = 3 в x² — 4 > 0:
3² — 4 = 9 — 4 = 5, а 5 > 0 — верно! 😊
Для x = 0 (не в решении): 0² — 4 = -4, а -4 не больше 0 — правильно!
6. Зачем это нужно? 🚀
Квадратные неравенства помогают решать задачи:
Какой размер коробки нужен, чтобы её площадь была больше заданной? 📦
Сколько часов можно работать, чтобы доход превысил минимум? 💸
Делит числовую прямую на интервалы с помощью корней и проверяет, где выражение положительное или отрицательное.
Решаем x² — 1 = 0 → x = 1, x = -1. Разложим: (x — 1)(x + 1). Интервалы: x < -1, -1 < x < 1, x > 1. Проверяем знаки:
x = -2: (-2 — 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = положительное.
x = 0: (0 — 1)(0 + 1) = (-1)(1) = отрицательное.
x = 2: (2 — 1)(2 + 1) = (1)(3) = положительное.
Нам нужно ≤ 0 (отрицательное или ноль), то есть -1 ≤ x ≤ 1.
Решаем x² — 9 = 0 → x = 3, x = -3. Выражение > 0 при x < -3 или x > 3. На числовой прямой: пустые кружки на -3 и 3, стрелки влево от -3 и вправо от 3.
Оцените урок:
До 2030 года: исчезнут 67 профессий и появятся новых 186 🤖
Посмотреть в Telegram
