Округление чисел до целого

Обычно на вопрос «сколько вам лет?» мы отвечаем 13 лет, 15 лет, 28 лет, 45 лет. Гораздо реже мы говорим 13 лет 2 месяца и 4 дня. На вопрос «каково расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы?» обычно говорят, например, 632 километра. Гораздо реже можно услышать такой ответ: «632 километра 138 метров».

Почему же не уделяют внимание метрам и сантиметрам? Когда мы говорим о больших расстояниях, то метры и сантиметры уже не имеют большого значения. То же самое происходит, когда мы говорим про возраст.

Месяцы, дни, метры и сантиметры в данных примерах являлись избыточной информацией, которую опускают. В математике есть специальный раздел, который позволяет так же работать с произвольными числами. Этот раздел называется округлением чисел.

Вместо числа мы берем близкое к нему число, но удовлетворяющее той точности, которая нам нужна. Например, если нас интересуют только целые, то мы будем отбрасывать всё, что идет после запятой; если нас интересуют десятки или сотни, то мы отбросим всё после десятков или после сотен соответственно.

Округлением числа до целых называется ближайшее к нему целое число.

Возьмем число 3,8. Какое к нему самое близкое целое число? Число 4. Значит, число 3,8 до целых округляется к 4.

Запишется это следующим образом: . Поставить знак равенства мы не можем, поэтому используем знак «приближенно равно»:

Ближайшее целое число к 2,1 – число 2.

Что же делать, например, с числом 1,5, ведь единица и двойка одинаково близки к нему? В этом случае необходимо прибегнуть к договоренности: округляем до большего. То есть в нашем случае .

Если после запятой находится цифра меньше пяти (4, 3, 2, 1, 0) то мы ее убираем. При этом неважно, сколько цифр находится после запятой – убираем все.

Если после запятой стоит цифра больше пяти или сама пятерка, то округление производится в большую сторону (цифру, которая была до запятой, увеличиваем на 1).

Округлим число 43,95 до целых. 9 больше 5, значит, мы увеличиваем 3 на 1.

 (так как 3 меньше 5)

Общее правило округления чисел

Округлять не до целых тоже можно. Можно округлять до любого разряда: до десятков, до сотен, до десятых, до сотых. Округление производится по тем же правилам.

Хотим округлить число 43,95до десятых. Смотрим на следующую цифру после той, до которой округляем. Мы округляем до десятых, то есть смотрим на цифру, которая следует после 9. Это цифра 5. Значит, мы должны увеличить 9 на 1. Если 9 увеличить на 1, получим 10. Необходимо к 3 прибавить 1.

Округление до десятых совпало с округлением до целых.

Но число 43,94 при округлении до десятых даст другой результат. Смотрим на цифру после 9 – это 4. 4 меньше 5, значит, нам нужно отбросить всё после 9.

.

Но если бы мы округляли 43,95 до целых, то получили бы 44.

Округлим число 17,397 до сотых. В разряде сотых стоит 9. Смотрим на следующий разряд – там стоит 7. 7 больше 5, значит, необходимо увеличить 9 на 1. Получаем 10. Но цифры 10 нет, поэтому 1 добавляем к 3. Получим 17,40. Это то же самое, что 17,4.

Правило: когда округляем до определенного разряда, то смотрим на следующий разряд. Если в следующем разряде будет цифра меньше 5, то мы просто отбрасываем все цифры, начиная с данной (которая меньше 5). Если в следующем разряде цифра больше или равная пяти, то мы так же отбрасываем все цифры, но разряд, до которого мы округляли, увеличиваем на 1.

Округление до десятков, до сотен и т. п. происходит по тем же правилам.

Округлим число 43,95 до десятков. В разряде десятков стоит 4. Смотрим на следующий разряд – там стоит 3. 3 меньше 5. Значит, весь «хвост» после 4 отбрасываем. Получаем число 40. Не 4, так как мы округляли до десятков, поэтому должны получить десятки.

То есть после запятой мы отбрасываем цифры, а до запятой – заменяем нулем. На самом деле и после запятой мы заменяем цифры нулями, просто мы их не записываем.

Округлим число 2013 до тысячных. В разряде тысячных находится 2. После этого разряда – 0. 0 меньше 5. Поэтому при округлении мы не меняем первую цифру, а остальные заменяем нулями. Получим 2000.

При округлении необходимо указывать, до какого разряда производится округление.

Проблемы при округлении на практике

Сложите числа 1,4 и 1,4, а результат округлите до целых.

Сначала сложим числа, а затем округлим.

Давайте попробуем сначала округлить числа, а затем сложить результаты.

Мы получили разные ответы.

Результат действий будет точнее, если округление будет выполнено после всех вычислений.

Округлим вес двух животных. Крокодил весит 36 кг, а бегемот 98 кг. Округлим их вес до сотен килограммов.

Так как в числе 36 нет сотен, будем считать, что число сотен равно нулю. Можем мысленно приписать перед 36 нуль. Итак, смотрим на разряд после сотен. Там стоит цифра 3. 3 меньше 5. Значит, заменяем все цифры нулями.

Довольно странно – крокодил весит примерно 0 сотен килограммов.

С бегемотом и его весом все более понятно.

Очень важно понимать, до какого порядка производится округление. В данной задаче округлять вес крокодила до сотен просто неуместно. Если бы мы округляли до десятков, то проблем бы не возникло.

Это правдоподобнее.

Иногда на практике мы занимаемся не совсем тем округлением, о котором говорим в математике. Например, вам 13 лет 10 месяцев. Тогда при вопросе о том, сколько вам лет, вы ответите: 13. Хотя по правилам математики стоит сказать: 14. На практике по смыслу мы округляем не до ближайшего целого.

Нюансы при округлении на практике

1) Округления нужны для того, чтобы упростить вычисления.

Например, необходимо сложить два расстояния, которые необходимо пройти. Первое – 1 километр 384 метра 57 сантиметров и аналогичное второе. Сделать вычисления довольно трудно. Но если мы скажем, что в первом случае необходимо 1,5 километра, а во втором, например, 1 километр, то мы понимаем, что примерно необходимо пройти 2,5 километра.

Рассмотрим некоторые особенности использования приближенных величин.

Представьте, что вы складываете две величины. Перед сложением вы решили их округлить. Важно помнить, что при вычислении необходимо округлять до одного и того же разряда.

Пусть одно расстояние – 1 километр 382 метра 53 сантиметра. Второе расстояние – 1 километр 739 метров 15 сантиметров. Первое расстояние округлим до километров. Получим 1 километр. А второе – до метров. Получим 2 километра 739 метров. Сложим две полученные величины. Получим 3 километра 739 метров. Ответ получился с метрами. Значит, мы посчитали расстояние с точностью до метров. Но метры из первого расстояния мы не учли. Поэтому наш результат довольно ошибочный. Поэтому округлять следует до одного и того же.

Округлите до километра 1 километр 82 метра.

Казалось бы, смотрим на 8, 8 больше пяти, значит, 1 километр и 82 метра – это приблизительно 2 километра. Но здравый смысл подсказывает, что 1 километр 82 метра – это почти 1 километр.

Давайте переведем наше расстояние в километры. Получим 1,082 километра. И вот теперь мы видим, что оценивать необходимо не 8, а 0. 0 меньше пяти, значит, 1 километр 82 метра – это приблизительно 1 километр.

Когда речь идет о числах, все довольно просто. Но если речь идет о величинах, то стоит помнить, что, возможно, даны не все цифры.

2) Округление бывает полезно при проверке вычислений.

Допустим, умножили 11 на 11 и получили 1100. Понятно, что результат слишком большой, но как это обосновать? Давайте округлим 11 до десятков. 11 – это примерно 10. При умножении 10 на 10 получим 100. Таким образом, и результат умножения 11 на 11 должен быть около 100, но точно не 1000. В этом случае округление до десятых помогло нам проверить свои вычисления.

Заключение

Сегодня мы познакомились с понятием округления, научились округлять числа до разных разрядов, сформулировали правила, по которым выполняется округление, продемонстрировали на примерах, как работает округление, и увидели, как применяется округление на практике.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Теоретический материал (Источник)
2. Теоретический материал (Источник)
3. Примеры решений заданий (Источник)
4. Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)

Домашнее задание

1. Округлите до целых:

а) 1,3;

б) 2,6;

в) 127,78;

г) 345,89.

2. Округлите до десятых:

а) 24,78;

б) 30,4134;

в) 43,55;

г) 721,678.

3. Округлите до сотых:

а) 12,345;

б) 56,4887;

в) 73,561;

г) 80,001.

4. Укажите соседние натуральные числа для каждой из дробей:

а) 12,3;

б) 156,87;

в) 230,100;

г) 567,1267.

5. Округлите до десятков:

а) 157,56;

б) 128;

в) 234,9;

г) 862.