Отрезок. Отрезок и точка

Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Еще говорят, что линия проходит через точку.

На рисунке 1 точка  не принадлежит линии , или линия  не проходит через точку . Точка  принадлежит линии , или линия  проходит через точку .

Рис. 1. Линия и точки: принадлежащие линии и не принадлежащие

Пусть у нас есть две точки  и  (рис. 2). Сколько можно провести линий, которые будут проходить через обе эти точки? Или сколькими линиями можно соединить эти две точки? Бесконечное количество.

Рис. 2. Точки  и 

Точки  и  могут обозначать два места, например дом и школу. А линии, их соединяющие, – траекторию, по которой можно пройти от дома до школы (рис. 3). Часто интересует самая короткая дорога от дома до школы, от одного места до другого, от точки  до точки .

Рис. 3. Дорога от дома до школы как отрезок

Какая дорога от школы до дома самая короткая? Какая линия, соединяющая  и , будем самой короткой?

Чтобы дорога оказалась самой короткой, идти от школы до дома надо по прямой. Чтобы линия, соединяющая точки, оказалась самой короткой, соединять их нужно по прямой.

Соединим  и  самой короткой возможной линией. Такая линия называется отрезком (рис. 4). Точки  и  называются концами отрезка.

Рис. 4. Точки  и  – концы отрезка

Обозначается сам отрезок , по именам точек – концов отрезка. Другой такой же короткой линии, соединяющей  и , не существует. Если провести из  в  любую другую линию, она обязательно окажется длиннее. То есть существует только одна кратчайшая линия между  и . Она и называется отрезком.

Если мы хотим указать на другие линии, соединяющие наши точки, например верхние или нижние, то нужно добавить еще точки, чтобы не было путаницы (рис. 5).

Рис. 5. Линии  и , соединяющие точки  и 

Если две точки  и  необходимо соединить отрезком, то используется линейка. Линия, проведенная по линейке от точки  до точки  по линейке, и будет нужным отрезком (рис. 6). Сам отрезок будет называться . Точки  и  – его концами. Отрезок  является кратчайшей линией, соединяющей точки  и .

Рис. 6. Построение отрезка с помощью линейки

Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит.

Или говорят еще: «точка лежит на отрезке либо не лежит на отрезке». На рисунке точки  и  не принадлежат отрезку , точка  принадлежит отрезку (рис. 7).

Рис. 7. Точки, принадлежащие и не принадлежащие отрезку

Сами точки  и , концы отрезка, тоже принадлежат отрезку .

 Сравнение отрезков. Длина отрезка

Посмотрим на два отрезка на рисунке 8. Что про них можно сказать? Отрезок  короче отрезка  (рис. 8). .

Рис. 8. Отрезки  и 

Как мы это поняли? Просто увидели. То есть сравнить эти два отрезка оказалось несложно.

Задача сравнения отрезков, их длины встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, чей рост больше, кто из них выше.

 Способы сравнения отрезков

1 способ: на глаз

Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.

Очевидно, что на рисунке 9 отрезок  больше, длиннее, чем отрезок .

Очевидно, что папа выше сына.

Рис. 9. Сравнение роста папы и сына

Очевидно, что телебашня выше дерева на рисунке 10.

Рис. 10. Сравнение высоты телебашни и дерева

Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.

 Ошибки восприятия

Иногда, когда мы смотрим на картинку, то мы совершенно уверены, что понимаем, какой из двух отрезков больше. Но оказывается, что мы ошибаемся, потому что дополнительные построения вокруг отрезков обманывают зрение.

Пример 1

На картинке 1 нам кажется, что верхний отрезок длиннее нижнего.

Рис. 10.2. Иллюзия: кажется, что отрезки разной длины

Но это не так. В этом легко убедиться, если построить еще две линии.

Рис. 10.3. Одинаковые отрезки

Пример 2

Один из самых простых примеров ошибки восприятия. Какой отрезок короче на рисунке 3?

Рис. 10.4. Иллюзия: кажется, что отрезки не равны по длине

«Конечно же, первый!» – говорит наше восприятие. Но это не так. Эти отрезки одинаковые. В этом можно будет убедиться, воспользовавшись любым из остальных способов сравнения отрезков, которые мы рассматриваем на нашем сегодняшнем уроке.

Пример 3

Сложно поверить, что отрезки  и  равны. Дополнительные линии вокруг заставляют нас поверить, что отрезок  намного короче отрезка  на рисунке 4.

Рис. 10.5. Иллюзия: отрезки  и  имеют одинаковую длину

Все рассмотренные картинки являются примерами оптических иллюзий. Наберите в поисковой системе «оптические иллюзии», и вы найдете огромное количество очень интересных примеров по этой теме. Не только про сравнение отрезков.

Ну а мы с вами делаем главный вывод из этих примеров: не всегда можно доверять нашей оценке «на глаз». Нужны более точные методы сравнения отрезков.

 2 способ : Наложение

Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмет их вместе, зажмет в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рис. 11). По положению верхних краев она поймет, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.

Рис. 11. Проверка с помощью наложения

Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Например, для сравнения роста люди встают спиной друг к другу и смотрят, чья макушка окажется выше.

Итак, метод заключается в том, что два предмета прикладывают друг к другу, совмещают концы с одной стороны и по положению других концов понимают, какой отрезок больше или, может быть, они равны.

Этот метод уже является точным, в отличие от первого. Но у него есть один серьезный недостаток. Чтобы им воспользоваться, нужно иметь возможность взять один отрезок и переместить, приложить его ко второму. Это не всегда возможно.

Ведь даже если нарисованы два отрезка, затруднительно взять один из них и приложить к другому. Если только разрезать лист, сложить части друг с другом и посмотреть на просвет.

 3 способ : Промежуточный измеритель

Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди. Таким измерителем часто являются наши руки.

Если мы хотим понять, пройдет ли диван в дверной проем, мы руками отмечаем его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходим к дверному проему и проверяем, хватит ли ширины дверей.

Мы можем использовать веревку, нитку, палку, чтобы сравнить длины двух предметов, которые сложно перемещать. Приложить нитку к одному предмету, потом ее же к другому. Так сразу будет понятно, какой из предметов длиннее. В математике для этой цели используются специальный измеритель, циркуль.

Нужно сравнить два отрезка  и  (рис. 12).

Рис. 12. Отрезки для сравнения

Совмещаем концы отрезка  с иголками измерителя (рис. 13) и, не меняя раствора, сравниваем с другим отрезком (рис. 14).

Отрезок  равен отрезку .

Записывается это так: .

Или может оказаться такая ситуация (рис. 15).

Рис. 15. Отрезки для сравнения

Отрезок  не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка  (рис. 16).

Рис. 16. Отрезок равен части отрезка 

Отрезок  меньше отрезка , так как является его частью.

Отрезок меньше отрезка , потому что равен его части.

 4 способ: Измерение отрезков

Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы ее не знали.

Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.

Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить их длины.

Так, если два человека знают, что рост одного составляет 1 м 73 см, а другого – 1 м 75 см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять.

Длина, выраженная числом, то есть измеренная, становится очень удобным инструментом. Мы теперь эту длину можем записать, передать по телефону, запомнить.

Чтобы измерить отрезок, нужно приложить к нему линейку с нанесенной шкалой.

На рисунке 17 мы видим, что длина первого отрезка составляет 6 см, второго – 7 см.

Рис. 17. Измерение отрезков линейкой

Второй отрезок больше. Кроме того, мы теперь знаем, что второй не просто больше, а больше на 1 см.

А что если один отрезок измерял один человек, а второй – другой человек, да еще и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления – сантиметры и миллиметры.

 Единицы измерения длины. Метр

Одна из самых часто встречающихся единиц длины – это метр.

Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы и так далее. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение, не нужна.

Все остальные единицы для измерения либо очень больших объектов, либо намного меньших получаются из метра.

 Километр

Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило-», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.

Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.

В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.

Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга воображаемым отрезком (рис. 18), то его длина будет равна 635 км, или 635 000 метров.

Рис. 18. Отрезок между Москвой и Санкт-Петербургом

 Дециметр

Для измерения длин небольших объектов используют более мелкие единицы. Разделим 1 метр на 10. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «деци-» перед словом «метр».

Приставка «деци-» означает одну десятую, что в десять раз меньше. Обозначается дециметр буквами «дм».

 Сантиметр

Разделим 1 метр на 100. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «санти-» перед словом «метр». Приставка «санти-» означает одну сотую, что-то, в сто раз меньшее. Обозначается сантиметр буквами «см».

 Миллиметр

Разделим 1 метр на 1000. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «милли-» перед словом «метр». Приставка «милли-» означает одну тысячную, что-то, в тысячу раз меньшее. Обозначается миллиметр буквами «мм».

 Взаимосвязь единиц длины

Кроме понимания, сколько в 1 метре содержится дециметров, сантиметров и миллиметров, полезно запомнить и соотношения напрямую между соседними единицами.

Мы делили метр на 10, 100 и 1000 частей. Но это равносильно делению на 10 уже полученных единиц. То есть поделили метр на 10, получили дециметр. Поделили еще раз на 10, получили сантиметр. Еще раз на 10, получили миллиметр.

Посмотрим еще раз на все эти единицы измерения вместе. Метр примерно можно получить как расстояние от плеча одной руки до вытянутых кончиков пальцев другой руки (рис. 19).

Рис. 19. Расстояние от плеча одной руки до конца второй руки примерно равно метру

На рисунке 20 деления на верхней линейке – сантиметры. В 1 метре 100 сантиметров. На нижней линейке сантиметры разделены на 10 делений. Это миллиметры.  

Рис. 20. Линейки с различными шкалами

Дециметры обычно не отмечают на линейках и не делают для них специальных делений. Так сложилось, что в жизни редко используют эту величину. Мы почти не слышим слова «дециметр», хотя слова «сантиметр» и «миллиметр» можем услышать достаточно часто. В различных задачах эта единица бывает часто, и, чтобы решать их, нужно обязательно помнить, что это такое.

Рост человека измеряют или только в сантиметрах, или метрах и сантиметрах. Если рост человека составляет 1 м 75 см, то каков его рост в сантиметрах?

Так как 1 м равен 100 сантиметрам, то рост равен .

Рост Петра Первого составлял 203 см. Как его рост записать другим способом?

 Задача

Дорога длиной 3 км и шириной 2 м 40 см выложена квадратной плиткой со стороной 6 дм. Сколько плиток понадобилось, чтобы выложить всю дорогу?

Решение

Рассмотрим рисунок 21.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче

Найдем сначала, сколько плиток помещается в ширину дороги.

Для этого нужно ширину дороги разделить на размер стороны плитки, но перед этим нужно указать эти размеры в одинаковых единицах измерения.

В одном метре 10 дм, следовательно, 2 метра – это 20 дм. 10 сантиметров – это 1 дециметр, следовательно, 40 см – это 4 дм.

Получаем: .

В ширину дороги укладывается  То есть дорожка в 4 раза шире, чем плитка. Значит, в ширину помещается 4 плитки.

Теперь посчитаем, сколько плиток помещается в длину.

Длина дороги составляет 30 000 дм. Разделим эту длину на размер плитки, на 6 дм.

Итак, в длину помещается 5000 плиток, а в ширину – 4 штуки.

Всего необходимо  плиток.

Список литературы

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с.
2. Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Математика. 5 класс. Учебник. –14-е изд. – М.: 2015. – 272 с.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика. 5 класс. – М.: 2014. – 304 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematika-na.ru (Источник).
2. Volna.org (Источник).
3. Myshared.ru (Источник).
4. Myshared.ru (Источник).
5. Myshared.ru (Источник).

Домашнее задание

Выразите длины:

1. 1 км 300 м в дециметрах.
2. 349 м в сантиметрах.
3. 13 км 904 м в метрах.
4. 194 827 м в километрах и метрах.