Плоскость

Все геометрические фигуры мы изображаем на листе бумаги карандашом, на школьной доске мелом или маркером. Часто летом мелом или белым камушком мы рисуем фигуры на асфальте. И всегда, прежде чем начинать рисовать задуманное, мы оцениваем, хватит ли нам места. А так как мы редко знаем точные размеры нашего будущего рисунка, то всегда места нужно взять с запасом, и лучше с большим запасом. Обычно мы не боимся, что место для рисования кончится, если поле для рисования во много раз больше, чем сам рисунок. Так асфальта во дворе вполне хватит, чтобы начертить поле для прыганья. Тетрадного листа достаточно, чтобы посредине начертить два пересекающихся отрезка.

В математике таким полем, на котором мы все изображаем, является плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Плоскость

Она обладает двумя качествами:

1. На ней можно изобразить любую фигуру, про которую мы уже говорили, или еще будем говорить.

2. Мы не дойдем до края. Ее размеры можно считать намного большими, чем размеры рисунка.

 Бесконечность

То обстоятельство, что мы никогда не доходим до края плоскости, можно понимать как отсутствие краев вообще. Нам не нужны ее края, вот мы и договорились считать, что их нет (рис. 2).

Рис. 2. Плоскость бесконечна

В этом смысле плоскость бесконечна в любую сторону.

Мы можем представлять ее как большой лист бумаги, большую ровную асфальтовую площадку или огромную доску для рисования.

 Элементарные фигуры

Геометрических фигур бесконечное множество, и изучить их все совершенно невозможно. Но геометрия устроена во многом как конструктор. Есть несколько видов основных деталей, из которых можно построить все остальное, любую самую сложную постройку.

Этот принцип можно сравнить со словами и буквами: мы знаем все буквы, но не знаем всех слов. Встретив незнакомое слово, мы сможем его прочитать, так как знаем, как буквы пишутся и как произносятся соответствующие звуки.

Так и в математике – существует совсем немного основных геометрических фигур, которые нам с вами нужно хорошо знать.

 Прямая

Рассмотрим отрезок  (рис. 3). Отрезок – это кратчайшая линия, соединяющая две точки.

Рис. 3. Отрезок 

Продолжим отрезок в обе стороны до бесконечности. Продолжать будем тоже прямо.

Что значит «прямо»? Рассмотрим отрезки  и  (рис. 4).

Рис. 4. Отрезки  и 

Продолжим их в обе стороны. Верхняя линия прямая, а нижняя нет (рис. 5).

Рис. 5. Прямая линия  и непрямая линия 

Добавим еще по одной точке на верхнюю и нижнюю линию  и  (рис. 6). Часть верхней линии между точками  и  тоже является отрезком, а часть нижней линии между точками  и  отрезком не является, так как он не соединяет эти точки по самому короткому пути.

Рис. 6. Продолжение линий  и 

Прямая – это линия, продолжающаяся бесконечно в обе стороны, любая часть которой, ограниченная двумя точками, является отрезком.

 Свойства прямой

Прямая – это тип линии, и, как любая линия, прямая является фигурой. И, как для любой линии, данная точка либо принадлежит данной прямой, либо нет (рис. 7).

Рис. 7. Точки  и , принадлежащие прямой, и точки  и , не принадлежащие прямой

1. Прямая делит плоскость на две части, на две полуплоскости. На рисунке 8 точки  и  лежат в одной полуплоскости, а  и  – в разных полуплоскостях.

Рис. 8. Две полуплоскости

2. Через две точки всегда можно провести прямую, причем только одну (рис. 9).

Рис. 9. Прямая, проведенная через две точки

Прямую, как и любую линию, можно отметить одной строчной буквой латинского алфавита или последовательностью точек, которые на ней лежат. Чтобы обозначить прямую через точки, лежащие на ней, достаточно двух точек.

 Луч

Продлив отрезок в обе стороны до бесконечности, получили прямую. Если так же продлить отрезок, но всего лишь в одну сторону до бесконечности, получим фигуру, которая называется луч (рис. 10). Этот геометрический луч очень похож на световой луч, поэтому он так и называется. Если взять в руки лазерную указку, то луч света будет начинаться в указке и уходить в бесконечность по прямой.

Рис. 10. Луч

Точка  называется началом луча. Обозначается луч .

Если на прямой отметить точку , то она делит эту прямую на два луча (рис. 11). Оба луча имеют начало в точке , но направлены в разные стороны. Два этих луча составляют прямую, являются ее половинами. Поэтому луч часто еще называют «полупрямая».

Рис. 11. Точка  делит прямую на два луча

Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12. Отрезок, прямая и луч

Разберемся, в чем похожи и не похожи друг на друга отрезок, прямая и луч:

— отрезок и луч легко достраиваются до прямой, отрезок для этого нужно продолжить в обе стороны, а луч в одну;

— на прямой всегда можно выделить отрезок или луч;

— точка  делит прямую на два луча, на две полупрямые;

— точки  и  ограничивают на прямой отрезок ;

— все эти фигуры: отрезок, луч, прямая – являются «прямыми линиями». Различаются они наличием концов. У отрезка их два, у луча один, у прямой ни одного. Иначе можно сказать еще так: и луч, и отрезок являются частью прямой;

— нам известно, что у отрезка можно измерить его длину. Два отрезка можно сравнить, выяснить, какой из них длиннее;

— прямая же бесконечно продолжается в обе стороны, луч – в одну сторону. По этой причине невозможно измерить длину прямой или луча, также невозможно сравнить по длине две прямых или два луча. Они все одинаково бесконечны.

 Угол

Два луча, имеющие свои начала в одной точке, образуют еще одну геометрическую фигуру из основного набора – угол. Точка, начало обоих лучей, называется вершиной угла. Сами лучи называются сторонами угла.

Итак, угол – это фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки (рис. 13).

Рис. 13. Угол

Обозначают угол одной буквой, соответствующей обозначению вершины. В данном случае угол можно назвать угол  (рис. 14). Чтобы было понятно, что речь идет именно об угле, а не о точке, перед его названием надо написать слово «угол» или поставить специальный знак угла («»).

Рис. 14. Угол 

Если по вершине сложно понять, о каком именно угле идет речь, как на рисунке 15, то используют еще две точки на обеих сторонах угла.

Если просто назвать угол  на этом рисунке, то непонятно, о каком конкретно идет речь, ведь с вершиной в точке  мы видим несколько углов. Поэтому на стороны нужного нам угла добавим по точке и угол обозначим как  (рис. 15).

Рис. 15. Угол 

Можно при обозначении пойти в обратную сторону, но чтобы опять вершина  оказалась в середине записи .

Еще одно распространенное обозначение – одной греческой буквой: альфа, бета, гамма и так далее (рис. 16). В этом случае букву вписывают обычно внутрь угла (рис. 17).

Рис. 16. Греческий алфавит

Рис. 17. Название угла, записанное внутри угла

Так, на рисунке 18 обозначения , ,  являются эквивалентными, обозначают один и тот же угол.

Рис. 18. , ,  – один и тот же угол

Пусть две прямые  и  пересекаются в точке  (рис. 19). Точка  делит каждую прямую на два луча, то есть всего 4 луча. Каждая пара лучей задает угол.

Рис. 19. Прямые  и  образуют 4 луча

Например, , , .

 Ломаная

Через две точки  и  всегда можно провести прямую. Так ли это с тремя точками?

На рисунке 20 через три точки можно провести прямую, а на рисунке 21 – нельзя.

Рис. 20. Через три точки можно провести прямую

Рис. 21. Через три точки нельзя провести прямую

Про три точки на рисунке говорят, что они лежат на одной прямой. Так говорят, даже если сама прямая не начерчена, просто подразумевая, что ее можно провести. Во втором случае говорят, что точки не лежат на одной прямой, подразумевая, что провести прямую через все три точки невозможно.

Если мы соединим последовательно сначала 1-ю и 2-ю точки, потом 2-ю и 3-ю, то полученная линия называется ломаной (рис. 22). Название следует из ее внешнего вида.

Рис. 22. Ломаная

Аналогично ломаной можно соединить любое количество точек. Точки , , , ,  называются вершинами ломаной, отрезки , , ,  – звеньями ломаной.

Обозначается ломаная своими вершинами .

Рис. 23. Ломаная 

Если последнюю точку соединить с первой, то полученная ломаная называется замкнутой (рис. 24).

Рис. 24. Замкнутая ломаная 

 Треугольник

Какую ломаную можно построить с минимальным набором вершин и звеньев? Если есть две точки, то их можно соединить отрезком. Это и будет самым простым примером ломаной: две вершины и одно звено, их соединяющее. Можно сказать, что отрезок – это минимальная ломаная.

Если требуется, чтобы ломаная была замкнута, то самой простой такой ломаной будет треугольник. Если взять две точки, то соединить последнюю точку с первой получится только тем же самым отрезком, который уже есть. То есть ломаная останется, как и раньше, незамкнутой. А если добавить еще одну точку, не лежащую на одной прямой с точками  и , соединить тремя отрезками все точки, получится треугольник (рис. 25).

Рис. 25. Треугольник

Треугольник – это замкнутая ломаная с тремя вершинами. Или даже так: треугольник – это минимальная замкнутая ломаная.

Точки ,  и  – это вершины треугольника. Отрезки, их соединяющие, звенья ломаной, называются сторонами треугольника.

Обозначается треугольник по своим вершинам. Например, . Перед обозначением нужно поставить слово «треугольник» или специальный символ треугольника («»).

Треугольник подразумевает три угла. Из каждой из вершин исходит по две стороны, то есть стороны треугольника являются сторонами углов (рис. 26).

Рис. 26. Углы треугольника

Таким образом, треугольник имеет три вершины (три точки ,  и ), три стороны (три отрезка ,  и ).

 Многоугольники

Возьмем теперь замкнутую ломаную из 4 точек . Полученная фигура по аналогии с треугольником называется четырехугольником  (рис. 27).

Рис. 27. Многоугольник 

Аналогично можно построить пяти-, шести- или, скажем, десятиугольник.

На рисунке 28 изображен 7-угольник .

Рис. 28. Семиугольник

В четырехугольнике появился новый элемент, которого не было в треугольнике.

На рисунке вершины  и  четырехугольника  не соединены. Если их соединить, то отрезок  не будет являться стороной четырехугольника, потому что вершины  и  не являются соседними. Такой отрезок называется диагональю (рис. 29).

Рис. 29. Диагональ

Четырехугольник имеет две диагонали. В данном случае это диагонали  и .

Общее название для треугольников, четырехугольников, пятиугольников, шестиугольников – многоугольники.

Самым важным будет являться треугольник, так как он относится к тому основному набору фигур, вместе с отрезком и лучом, необходимому для построения всех остальных фигур. Из треугольника можно построить любой другой многоугольник.

Рассмотрим четырех- и шестиугольники (рис. 30).

Рис. 30. Четырех- и шестиугольники

Проведем в четырехугольнике диагональ  (рис. 31). Диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника.

Рис. 31. Диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника

Аналогично можно поступить и с шестиугольником. Проведем из точки  все диагонали, какие возможно. Их можно провести 3 штуки , ,  (рис. 32).

Рис. 32. Диагонали , ,  многоугольника 

Мы видим, что наш шестиугольник разбивается на 4 треугольника.

В качестве тренировки посчитайте, на сколько треугольников таким способом можно разбить 10-угольник, 20-угольник, 100-угольник, -угольник.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. – 2-е изд., перераб. – М.: 2011; Ч. 1 – 176 с, Ч. 2 – 240 с.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика. 5 класс. – 24-е изд., испр. – М.: 2008. – 280 с.
3. Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Математика. 5 класс. Учебник. – 14-е изд. – М.: 2015. – 272 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Myshared.ru (Источник).
3. Urokimatematiki.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Решите задачи:
2. Начертите отрезок  заданной длины, отметьте точки  и :. . . Чему равна длина ?
3. Начертите четырехугольник . Отметьте середину  и поставьте точку . Проведите отрезки  и . Запишите все многоугольники, которые образовались.
4. В саду посадили в ряд яблони. Расстояние между яблонями равно 8 метров. Каково расстояние между 8 и 15 яблонями?