Показательные неравенства

Тема урока: Показательные неравенства

Цели урока

• Понять, что такое показательное неравенство

• Запомнить главное правило: смотри на основание

• Научиться решать неравенства и проверять ответ

Основная часть урока

1. Что такое показательное неравенство?

Показательное неравенство — это неравенство, в котором неизвестное стоит в показателе степени: 2^x > 16, (1/3)^x ≤ 9, 5^2x−1 < 125.
Решается так же, как уравнение: приводим обе части к одному основанию — но с показателями работаем аккуратнее.

2. Главное правило: смотри на основание

• Если a > 1, функция y = a^x возрастает — при переходе к показателям знак неравенства сохраняется.

• Если 0 < a < 1, функция убывает — знак неравенства меняется на противоположный.
  Важно: причина не в «магии», а в монотонности: у убывающей функции большему показателю отвечает меньшее значение.

3. Пример 1. Основание больше единицы

Решим неравенство 2^x > 16.

1. Одно основание: 16 = 2⁴, значит 2^x > 2⁴.

2. Основание 2 > 1 — знак сохраняем: x > 4.

3. Проверка: x = 5: 2⁵ = 32 > 16 — верно ✅; x = 3: 2³ = 8 > 16 — неверно, и 3 в ответ не входит ✅. Ответ: x > 4.

4. Пример 2. Основание меньше единицы

Решим неравенство (1/3)^x ≤ 9.

1. Одно основание: 9 = 3² = (1/3)⁻², значит (1/3)^x ≤ (1/3)⁻².

2. Основание 1/3 меньше единицы — знак меняем: x ≥ −2.

3. Проверка: x = 0: (1/3)⁰ = 1 ≤ 9 — верно ✅; x = −2: (1/3)⁻² = 9 ≤ 9 — верно, граница входит ✅; x = −3: (1/3)⁻³ = 27 ≤ 9 — неверно, и −3 в ответ не входит ✅. Ответ: x ≥ −2.

5. Пример 3. Показатель — выражение

Решим неравенство 5^2x−1 < 125.

1. 125 = 5³, значит 5^2x−1 < 5³.

2. Основание 5 > 1 — знак сохраняем: 2x − 1 < 3.

3. 2x < 4, откуда x < 2.

4. Проверка: x = 0: 5⁻¹ = 0,2 < 125 — верно ✅; x = 2: 5³ = 125 < 125 — неверно, граница не входит ✅. Ответ: x < 2.

Типичные ошибки

• ❌ Забывать менять знак при основании между 0 и 1 → ✅ у убывающей функции знак неравенства переворачивается.

• ❌ Переворачивать знак «на всякий случай» и при a > 1 → ✅ при основании больше единицы знак сохраняется.

• ❌ Сравнивать показатели при разных основаниях → ✅ сначала привести обе части к одному основанию.

• ❌ Терять строгость знака: путать < и ≤ → ✅ следи, входит ли граница в ответ, и проверяй её подстановкой.

Мини-конспект

• Показательное неравенство — неизвестное в показателе степени.

• Шаг 1: привести обе части к одному основанию.

• Шаг 2: при a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 — меняется.

• Причина правила — возрастание или убывание функции y = a^x.

• Строгое неравенство — граница не входит, нестрогое — входит.

• Проверка: подставь число из ответа и число вне его.

Зачем это нужно?

• Узнать, с какого года вклад превысит нужную сумму

• Оценить, когда концентрация лекарства в крови упадёт ниже порога

• Такие неравенства регулярно встречаются в профильном ЕГЭ