Правила дифференцирования

Тема урока: Правила дифференцирования 📚

Цели урока 🎯

• Выучить правила производной суммы, произведения и частного 🧠

• Научиться дифференцировать многочлены за минуту 🔢

• Освоить проверку ответа обратным способом ✅

Основная часть урока 📝

1. Зачем нужны правила? 🤔

Считать каждую производную по определению, через приращения, — долго. Правила дифференцирования позволяют собирать производную сложного выражения из простых «кирпичиков». Базовые кирпичики: (C)’ = 0 (производная константы — ноль), (x)’ = 1, (xⁿ)’ = n · xⁿ⁻¹. Например, (x²)’ = 2x, (x³)’ = 3x².

2. Сумма и постоянный множитель 🧱

Два самых простых правила:

• (u + v)’ = u’ + v’ — производная суммы равна сумме производных;

• (C · u)’ = C · u’ — постоянный множитель выносится за знак производной.

Пример 1. Найдём производную f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2.

1. (3x⁴)’ = 3 · 4x³ = 12x³.

2. (−5x²)’ = −5 · 2x = −10x.

3. (7x)’ = 7, а (−2)’ = 0.

4. Ответ: f'(x) = 12x³ − 10x + 7.

5. Проверка в точке x = 1: f'(1) = 12 − 10 + 7 = 9. Секущая с шагом 0,01: f(1) = 3, f(1,01) ≈ 3,0913, отношение приращений ≈ 9,13 — близко к 9. ✅

3. Производная произведения ✖️

(u · v)’ = u’v + uv’. Дифференцируем по очереди каждый множитель, второй оставляя как есть, и складываем.

Пример 2. f(x) = x² · (2x + 1).

1. u = x², v = 2x + 1; тогда u’ = 2x, v’ = 2.

2. f'(x) = 2x · (2x + 1) + x² · 2 = 4x² + 2x + 2x² = 6x² + 2x. Ответ: 6x² + 2x.

3. Проверка: раскроем скобки заранее: f(x) = 2x³ + x², тогда f'(x) = 6x² + 2x. Совпало. ✅

4. Производная частного ➗

(u/v)’ = (u’v − uv’)/v². Мнемоника: «производная верха на низ минус верх на производную низа, всё делим на низ в квадрате».

Пример 3. f(x) = (x² + 1)/x.

1. u = x² + 1, v = x; u’ = 2x, v’ = 1.

2. f'(x) = (2x · x − (x² + 1) · 1)/x² = (2x² − x² − 1)/x² = (x² − 1)/x². Ответ: (x² − 1)/x².

3. Проверка другим способом: f(x) = x + 1/x, значит f'(x) = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Совпало. ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Пишут (uv)’ = u’ · v’ → ✅ правильная формула: (uv)’ = u’v + uv’.

• ❌ В частном путают порядок в числителе → ✅ сначала u’v, потом минус uv’; поменяешь местами — потеряешь знак.

• ❌ «Дифференцируют» константу в саму себя: (−2)’ = −2 → ✅ производная любой константы равна нулю.

• ❌ Теряют минус у слагаемых вида −5x² → ✅ коэффициент выносится вместе со знаком: (−5x²)’ = −10x.

Мини-конспект 📋

• (C)’ = 0; (x)’ = 1; (xⁿ)’ = n · xⁿ⁻¹.

• (u + v)’ = u’ + v’; (C · u)’ = C · u’.

• (uv)’ = u’v + uv’ — два слагаемых, а не произведение производных.

• (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² — порядок в числителе важен.

• Многочлен дифференцируем почленно.

• Проверка: раскрой скобки и продифференцируй иначе — ответы должны совпасть.

Зачем это нужно? 🚀

• Физика: из формулы пути мгновенно получаешь скорость и ускорение 🧪

• Экономика: скорость роста прибыли считается производной, и правила ускоряют расчёт 📊

• Дальше по программе: без правил не решить задачи на касательную, экстремумы и графики 📈