Определение дроби

Само слово «дробь» старинное и означает «часть». Сейчас это слово осталось только у охотников (они стреляют дробью) и в математике. И еще нам остались слова «дробный», «дробить».

 Для чего нужна дробь

Потому что часто мы имеем дело с частями, с нецелыми количествами. Например, делим яблоко на три части.

Без дроби не обойтись. Одна часть – это . (Рис. 1.)

Рис. 1. Изображение 

Две части – . (Рис. 2.)

Рис. 2. Изображение 

Не обязательно что-то резать на части.

Для множества из пяти яблок одно яблоко – это , два яблока –  от общего количества. (Рис. 3.) 

Рис. 3. Изображение 

То есть дробь нужна, чтобы обозначить некое количество, в том числе нецелое.

Одно и то же количество можно обозначить разными дробями.

 Обозначение половины

Разрежем торт на 2 части, возьмем одну часть.

Можно разрезать на 4 части и взять две, будет то же самое количество, половина. (Рис. 4.)

Рис. 4. Изображение половины

Способов бесконечно много. Можно разделить на 10 частей и взять пять, или на миллион частей и взять полмиллиона.

 Зачем нужно представлять по-разному одно и тоже количество?

Иногда нам удобно одно представление, иногда другое.

Маша съела  торта, потом еще  другого. Сколько всего было съедено?

Надо найти сумму . (Рис. 5.)

Разные куски по размеру сложно складывать, поэтому представим первое количество другой дробью. Разделим каждый кусок еще на две части, то есть всего на 6. То есть кусок первого торта можно обозначить не только , но и эквивалентной записью – .

 и  – это .

А  снова можно обозначить эквивалентной записью – . Всего было съедено полторта.

Рис. 5. Сумма дробей

 Всегда ли дробь меньше единицы?

Предположим, что мы читаем рецепт блинов. И прикидываем, хватит ли нам одного литрового пакета молока.

5 стаканов молока – это 1 литр.

Если требуется один стакан – это  литра. Это, несомненно, меньше 1 литра.

Два стакана тоже меньше 1. При этом два стакана – это  литра.

Если по рецепту требуется 5 стаканов молока, то это уже  литра. Но, очевидно, это равно целому литру.

По рецепту может потребоваться, например, 6 стаканов,  литра. Но это уже на 1 стакан больше, чем литр.

То есть дробью может быть обозначено количество меньше единицы, равное единице или больше единицы.

 Правильные и неправильные дроби

Так как слово «дробь» обозначало часть, то есть меньше целого, то те дроби, которые обозначают количество, меньшее единицы, назвали «правильными» дробями, а остальные – «неправильными».

То есть дроби  и  называются правильными, так как они меньше единицы.

А вот уже  и – неправильными.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и мы называем ее правильной.

Если числитель равен знаменателю, то дробь равна единице и уже называется неправильной.

Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже неправильная.

Пример

Правильные дроби со знаменателем 259:

Неправильные дроби со знаменателем 259:

Сравним следующие дроби:

 – правильная дробь, меньше единицы;

 – неправильная, равна единице;

 – неправильная, больше единицы.

Таким образом:

 Заключение

Итак,

1. Если дробь меньше единицы, то ее называют правильной. В этом случае числитель всегда меньше знаменателя.

2. Если у дроби числитель и знаменатель равны, то дробь равна единице и называется неправильной.

3. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже называется неправильной.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Учебник по математике 5 класс (2008), глава II. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА, с.151.
2. Никольский С.М., Потапов М.К. Учебник по математике 5 класс (2012), глава 4.
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Учебник по математике 5 класс. Часть 1 – 2 (2011), часть 2, глава 3.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. 5klass.net (Источник).
2. Formula-xyz.ru (Источник).
3. 5klass.net (Источник).

Домашнее задание

1. Что такое дробь? Как обозначить половину?
2. При каких значениях х дробь  будет неправильной: , , ?
3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса (5-е изд., испр.) с. 97.