Проекция вектора на ось
Зачем нужна проекция вектора на ось?
Вектор — стрелка в пространстве. Работать с ним напрямую неудобно: у него есть и длина, и направление одновременно. Физики давно научились «разбирать» любой вектор на простые составляющие — вдоль выбранных осей. Каждая такая составляющая — это проекция вектора на ось: обычное число со знаком, с которым уже работают как с обычной алгеброй.
Проекция вектора →a на ось Ox — это число aₓ, равное длине отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на эту ось, взятой со знаком «+», если проекция направлена по оси, и «−», если против.
Геометрический смысл проекции
Представь, что светит солнце строго сверху перпендикулярно оси. Тень вектора на ось — это и есть его проекция. Она показывает, насколько вектор «продвинулся» вдоль данной оси.
Формула проекции
Пусть α — угол между вектором →a и осью Ox. Тогда:
aₓ = |→a| · cos α
Знак проекции определяется автоматически через косинус: cos α > 0 при α < 90° → проекция положительна; cos α < 0 при α > 90° → проекция отрицательна.
Знак проекции: все четыре случая
Таблица: косинусы и знаки проекций
| Угол α | cos α | Знак aₓ | Смысл |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | + (= |→a|) | Вектор вдоль оси |
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 | + | Острый угол |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 | + | Диагональ квадрата |
| 60° | 1/2 = 0,5 | + | Острый угол |
| 90° | 0 | 0 | Вектор ⊥ оси |
| 120° | −0,5 | − | Тупой угол |
| 180° | −1 | − (= −|→a|) | Вектор против оси |
Проекция суммы векторов
Главное применение проекций — замена векторного сложения обычным алгебраическим:
Теорема о проекции суммы
(→a + →b)ₓ = aₓ + bₓ
Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось.
Пример. →a имеет aₓ = 5 м, →b имеет bₓ = −3 м. Тогда (→a + →b)ₓ = 5 + (−3) = +2 м — без всяких чертежей, просто алгебра.
Итог
Запомни главное
Проекция — число со знаком, «тень» вектора на ось.
Формула: aₓ = |→a| · cos α, где α — угол между вектором и осью.
Знак: + если вектор направлен по оси (α < 90°), − если против (α > 90°), 0 если ⊥.
Сумма: (→a + →b)ₓ = aₓ + bₓ — сложение векторов сводится к сложению чисел.
Проекции — главный инструмент перевода векторных задач в алгебраические.
Ответ. Fₓ = 20 · cos 60° = 20 · 0,5 = 10 Н . F_y = 20 · sin 60° = 20 · 0,866 ≈ 17,3 Н . Обеспечьте положительную проекцию — вектор, направленный в первую четверть. Проверка: √(10² + 17,3²) ≈ √(100 + 299) ≈ 20 Н ✓.
Ответ. aₓ знак равно 10 · cos 135° = 10 · (−√2/2) ≈ 10 · (−0,707) ≈ −7,07 м . Знак отрицательный — угол тупой (135° > 90°), значит вектор имеет составляющую, направленную против оси Ox. Это соответствует движению влево при сохранении ориентации оси.
Ответ. (→а + →б)ₓ = −4 + 9 = +5 м . Проекция положительная — значит, результирующий вектор имеет составляющую в положительном направлении Ox (вправо). Однако по одной проекции полного направления вектора определить нельзя: нужна ещё проекция на ось Oy. Только надежно обе проекции, можно найти модуль и угол результирующей вектора.
Оцените урок:
