На сегодняшнем уроке вы познакомитесь с понятиями простых и составных чисел, а также повторите, что такое натуральные числа. Вы научитесь различать простые и составные числа в натуральном ряду и узнаете о методе, известном как решето Эратосфена. Мы также выделим группы натуральных чисел и обсудим основную теорему арифметики, которая поможет вам разложить составные числа на простые множители.

Если у вас возникнут трудности с пониманием темы, рекомендуем ознакомиться с уроком «Число как объект изучения (Теория чисел)».

Игра с натуральными числами

Рассмотрим натуральный ряд чисел от 1 до 100 (см. рисунок 1).

Правила игры:

1. Начинаем с числа 2 и вычеркиваем все числа, которые на него делятся. Это приведет к тому, что каждое второе число будет зачеркнуто (см. рисунок 2).

2. Далее берем следующее незачеркнутое число и обводим его. Затем вычеркиваем числа, делящиеся на 3 (см. рисунок 3).

3. Следующее незачеркнутое число – 5. Вычеркиваем все числа, делящиеся на 5 (см. рисунок 4).

4. Повторяем процесс с числом 7, вычеркивая числа, делящиеся на 7 (см. рисунок 5).

5. В результате остаются только те числа, которые не делятся ни на что, кроме себя и единицы. Эти числа и есть простые числа. Все остальные числа, которые были зачеркнуты, называются составными.

Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя: 1 и само себя (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Уникальное число — единица (1) — имеет только один делитель и не относится ни к простым, ни к составным числам.

Группы натуральных чисел

Натуральные числа, которые мы используем для счета, можно разделить на три группы:

1. Простые числа – имеют только два делителя: 1 и само себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, 17 и т. д.).

2. Составные числа – имеют более двух делителей (например: 4, 6, 8, 10, 15 и т. д.).

3. Единица (1) – имеет только один делитель.

Простые числа

Если взглянуть на таблицу простых чисел (см. рисунок 6), можно заметить, что все числа, кроме 2, являются нечетными. Самое маленькое простое число – это 2. На данный момент самое большое известное простое число содержит 17 425 170 цифр.

Основная теорема арифметики

Каждое натуральное число можно разложить на произведение простых чисел единственным образом, за исключением порядка множителей.

1. Например, число 6 можно представить как 2 × 3 или 3 × 2.

2. Аналогично, разложим число 48 на простые множители.

3. Рассмотрим число 122: оно делится на 2, в результате получаем 61, который является простым числом. Таким образом, разложение числа 122 на простые множители: 2 × 61.

4. Для числа 462 разложение на простые множители будет аналогичным.

Интересно, что иногда простые числа стоят рядом, например, 3 и 5, или 71 и 73. Такие пары называются «близнецами». Иногда простые числа могут находиться на большом расстоянии друг от друга, и находить следующее простое число становится все сложнее.

Определение

Криптограф – это специалист, занимающийся шифрованием и расшифровкой информации. Криптографы используют большие простые числа для создания сложных кодов, которые трудно взломать.

В будущих уроках нам понадобятся знания о простых числах для вычисления НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное).

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. «Математика. 6 класс». М.: Мнемозина, 2013.
2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. «Математика. 6 класс». М.: Мнемозина.
3. Истомина Н. Б. «Математика. 6 класс». М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные ресурсы

• Интернет-портал «cleverstudents.ru»
• Интернет-портал «school-assistant.ru»

Домашнее задание

Выполните задания из учебника Виленкина: § 4, № 95, 98, 104. Ответьте на вопросы:

1. Что такое натуральные числа?
2. Какие группы натуральных чисел вы знаете?
3. Разложите на простые множители следующие числа, используя основную теорему арифметики:
   • а) 335
   • б) 892
   • в) 647
   • г) 995
   • д) 44
   • е) 220