Тема урока: Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберём, что такое рациональные неравенства, как решать их системы, и познакомимся с системами уравнений. Всё будет объяснено просто и понятно, с примерами, чтобы каждый смог разобраться! 🚀

Что такое рациональное неравенство? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение, в котором есть переменная (например, x) в виде дроби, и знаки сравнения: >, <, ≥, ≤. Например: (x + 2)/(x — 1) > 0.

• Числитель и знаменатель — это многочлены (выражения с x, x² и т.д.).
• Мы ищем все значения x, которые делают неравенство верным.
• Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, так как делить на ноль нельзя!

Пример:

Для неравенства x/(x + 2) < 0 мы ищем такие x, чтобы дробь была отрицательной. 😄

Как решать рациональные неравенства? 🛠️

Чтобы решить рациональное неравенство, делаем так:

1. Переносим всё в одну сторону, чтобы получить ноль (например, (x + 2)/(x — 1) > 0).
2. Находим точки, где числитель равен нулю (корни числителя) и где знаменатель равен нулю (точки, где дробь не определена).
3. Делим числовую прямую на интервалы с помощью этих точек.
4. Проверяем, положительная или отрицательная дробь в каждом интервале.
5. Записываем ответ в виде интервалов или показываем на числовой прямой.

Пример:

Решим (x — 2)/(x + 3) > 0:

1. Числитель: x — 2 = 0 → x = 2.
2. Знаменатель: x + 3 = 0 → x = -3.
3. Точки x = 2 и x = -3 делят числовую прямую на интервалы: x < -3, -3 < x < 2, x > 2.
4. Проверяем знаки:
   
   • Для x = -4: (-4 — 2)/(-4 + 3) = -6/-1 = 6 > 0 — подходит.
   • Для x = 0: (0 — 2)/(0 + 3) = -2/3 < 0 — не подходит.
   • Для x = 3: (3 — 2)/(3 + 3) = 1/6 > 0 — подходит.
5. Ответ: x < -3 или x > 2. На числовой прямой — стрелки влево от -3 и вправо от 2. 📏

Системы рациональных неравенств 🌟

Система рациональных неравенств — это несколько неравенств, которые должны быть верны одновременно. Например:

• (x — 1)/(x + 1) > 0
• x/(x — 2) < 0

Решение — это значения x, которые подходят для всех неравенств сразу.

Как решать систему рациональных неравенств? 🧩

1. Решаем каждое неравенство отдельно, определяя корни числителя и знаменателя.
2. Находим интервалы, где каждое неравенство выполняется.
3. Ищем общую часть решений (пересечение интервалов).
4. Проверяем ответ на числовой прямой.

Пример:

Решим систему:

• (x + 1)/(x — 2) > 0
• x/(x + 2) < 0

1. Первое неравенство: (x + 1)/(x — 2) > 0.
   
   • Числитель: x + 1 = 0 → x = -1.
   • Знаменатель: x — 2 = 0 → x = 2.
   • Знак положительный для x < -1 и x > 2.
2. Второе неравенство: x/(x + 2) < 0.
   
   • Числитель: x = 0.
   • Знаменатель: x + 2 = 0 → x = -2.
   • Знак отрицательный для -2 < x < 0.
3. Общая часть: x < -1 (из первого) и -2 < x < 0 (из второго) пересекаются в -2 < x < -1.
   Ответ: -2 < x < -1. 🎉

Системы уравнений 📐

Система уравнений — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Например:

• x + y = 5
• x — y = 1

Мы ищем значения x и y, которые подходят для обоих уравнений.

Как решать системы уравнений? 🔍

Есть несколько способов:

1. Способ подстановки: Выразить одну переменную через другую из первого уравнения и подставить во второе.
2. Способ сложения: Сложить или вычесть уравнения, чтобы убрать одну переменную.
3. Проверяем ответ, подставляя найденные значения в оба уравнения.

Пример:

Решим систему:

• x + y = 4
• x — y = 2

1. Сложим уравнения:
   (x + y) + (x — y) = 4 + 2 → 2x = 6 → x = 3.
2. Подставим x = 3 в первое уравнение: 3 + y = 4 → y = 1.
3. Проверка: 3 — 1 = 2 (второе уравнение) — верно.
   Ответ: x = 3, y = 1. 😎

Зачем это нужно? 🌍

Рациональные неравенства и системы уравнений помогают решать задачи из жизни! Например:

• Определить, сколько товаров можно купить при ограниченном бюджете. 🛍️
• Найти, сколько времени нужно на выполнение двух задач одновременно. ⏰