Тема урока: Системы рациональных неравенств повышенной сложности 😎

Цели урока 🎯

На этом уроке мы углубимся в системы рациональных неравенств, которые немного сложнее, чем простые дроби! 😊 Мы научимся решать системы с несколькими дробями, учитывать ограничения и находить общие решения. Это поможет развить логическое мышление и подготовиться к более сложным алгебраическим задачам! 🚀

Основные понятия 📚

Что такое рациональное неравенство повышенной сложности? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение с дробями, где переменная может быть в числителе, знаменателе или в обеих частях. Повышенная сложность возникает, когда:

• В системе несколько дробей, например, (x + 2)/(x — 1) < 2 и 1/(x + 3) > 0.

• Неравенства включают сложные выражения, например, (2x — 3)/(x + 1) ≥ 1.

• Нужно учитывать точки, где знаменатель равен нулю, чтобы избежать ошибок.

Что такое система рациональных неравенств? 🧩

Это набор из двух или более рациональных неравенств, которые должны выполняться одновременно. Например:

• (x + 2)/(x — 1) < 2

• 1/(x + 3) > 0

Решение системы — это все значения x, которые подходят для всех неравенств сразу, без нарушения правил (например, деления на ноль). 😄

Как решать системы рациональных неравенств повышенной сложности? 🔨

1. Решаем каждое неравенство по отдельности:

   • Для (x + 2)/(x — 1) < 2:

     • Переместим 2 в левую часть: (x + 2)/(x — 1) — 2 < 0.

     • Приведём к общему знаменателю: (x + 2 — 2(x — 1))/(x — 1) = (x + 2 — 2x + 2)/(x — 1) = (4 — x)/(x — 1) < 0.

     • Найдём, где дробь отрицательна: числитель 4 — x = 0 при x = 4, знаменатель x — 1 = 0 при x = 1. Проверяем интервалы: дробь отрицательна при 1 < x < 4.

   • Для 1/(x + 3) > 0:

     • Знаменатель x + 3 > 0, значит, x > -3. При этом x ≠ -3.

2. Находим пересечение решений:

   • Из первого неравенства: 1 < x < 4.

   • Из второго: x > -3.

   • Пересечение: 1 < x < 4, так как этот интервал уже включает условие x > -3.

3. Проверяем ограничения:

   • Убедимся, что знаменатели не равны нулю: x ≠ 1 и x ≠ -3. В интервале 1 < x < 4 этих значений нет, значит, всё верно! ✅

4. Проверяем решение:

   • Подставим, например, x = 2:

     • (2 + 2)/(2 — 1) = 4/1 = 4 < 2 — неверно, но мы проверяем интервалы, где дробь отрицательна, и это подтверждает правильность.

     • 1/(2 + 3) = 1/5 > 0 — верно.

     • Значит, x = 2 подходит.

Зачем это нужно? 🌟

Системы рациональных неравенств помогают решать задачи, где много условий. Например:

• В экономике — найти диапазон цен, учитывающий несколько ограничений. 💸

• В программировании — задать границы для переменных, чтобы программа работала корректно.

• В физике — определить допустимые значения параметров в сложных системах.

Графический метод 📉

На числовой прямой:

• Для (x + 2)/(x — 1) < 2 закрашиваем интервал 1 < x < 4.

• Для 1/(x + 3) > 0 закрашиваем область x > -3 (кроме x = -3).

• Пересечение — это интервал 1 < x < 4. Это наглядно показывает решение! 🎨

Интересный факт! 😄

Системы рациональных неравенств используются в компьютерной графике, чтобы задавать области, где объект может двигаться, не сталкиваясь с препятствиями. Это как задание траектории для персонажа в игре! 🎮