Тема урока: Системы уравнений в задачах на работу 💪😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберем, как использовать системы уравнений для решения задач на работу! 😄 Это интересный способ применить алгебру к ситуациям, где люди или машины выполняют работу вместе или по отдельности. Мы научимся:

• Составлять системы уравнений для задач на работу 🔧.

• Решать системы, чтобы найти время или производительность 📝.

• Понимать, как математика помогает описывать совместную работу 🌟.

Что такое задачи на работу? ❓

Задачи на работу связаны с тем, сколько времени нужно людям, машинам или другим объектам, чтобы выполнить задачу (например, покрасить забор или наполнить бассейн). Основная идея:

Работа = Производительность × Время
Производительность — это, сколько работы выполняется за единицу времени (например, за час). Мы будем составлять системы уравнений, чтобы найти неизвестные величины, такие как время или производительность. 😎

Как составлять системы уравнений для задач на работу? 🛠️

1. Прочитай задачу и определи, что нужно найти (время, производительность).

2. Обозначь переменные (обычно x и y для двух неизвестных).

3. Запиши уравнения, основываясь на условиях задачи и формуле Работа = Производительность × Время.

4. Реши систему любым методом (например, подстановки или сложения).

Давай разберем это на примерах! 🚀

Пример 1: Совместная работа (покраска забора) 🎨

Условие: Маша и Петя красят забор. Маша может покрасить весь забор за x часов, а Петя — за y часов. Вместе они покрасили забор за 3 часа. Также известно, что Маша красит в два раза медленнее, чем Петя. Найдите, за сколько часов каждый может покрасить забор.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время, за которое Маша красит забор (ч).

• y — время, за которое Петя красит забор (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность Маши: 1/x (доля забора за час).

• Производительность Пети: 1/y.

• Вместе за 3 часа они красят весь забор (1 забор): 3 × (1/x + 1/y) = 1.

• Маша красит в два раза медленнее: x = 2y.

Система:

• 3 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 2y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 2y.
Подставим x в первое уравнение:
3 × (1/(2y) + 1/y) = 1
Упростим: 1/(2y) + 1/y = 1/3
(1 + 2)/(2y) = 1/3
3/(2y) = 1/3
2y = 9
y = 4.5

Теперь найдём x:
x = 2 × 4.5 = 9

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/9 (Маша) + 1/4.5 (Петя) = 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3 за час. За 3 часа: 3 × 1/3 = 1 (верно ✅).

• x = 2y: 9 = 2 × 4.5 (верно ✅).

Ответ: Маша красит за 9 часов, Петя — за 4.5 часа. 😄

Пример 2: Раздельная работа (наполнение бассейна) 🏊‍♂️

Условие: Два крана наполняют бассейн. Первый кран наполняет бассейн за x часов, второй — за y часов. Вместе они наполняют бассейн за 2 часа. Если первый кран работает в 1.5 раза дольше, чем второй, найдите время наполнения для каждого крана.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время первого крана (ч).

• y — время второго крана (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность первого крана: 1/x.

• Производительность второго крана: 1/y.

• Вместе за 2 часа: 2 × (1/x + 1/y) = 1.

• Первый кран работает в 1.5 раза дольше: x = 1.5y.

Система:

• 2 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 1.5y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 1.5y.
Подставим в первое:
2 × (1/(1.5y) + 1/y) = 1
1/(1.5y) = 2/(3y), так что:
2 × (2/(3y) + 1/y) = 1
2 × (2/(3y) + 3/(3y)) = 1
2 × 5/(3y) = 1
10/(3y) = 1
3y = 10
y = 10/3 ≈ 3.33

Теперь:
x = 1.5 × (10/3) = 15/3 = 5

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/5 + 1/(10/3) = 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2 за час. За 2 часа: 2 × 1/2 = 1 (верно ✅).

• x = 1.5y: 5 = 1.5 × (10/3) (верно ✅).

Ответ: Первый кран — 5 часов, второй — около 3.33 часов. 😊

Пример 3: Совместная работа (уборка сада) 🌳

Условие: Катя и Саша убирают сад. Катя может убрать сад за x часов, а Саша — за y часов. Вместе они убирают сад за 4 часа. Также известно, что Катя работает в 2 раза дольше, чем Саша. Найдите время для каждого.

Шаг 1: Обозначим переменные

• x — время Кати (ч).

• y — время Саши (ч).

Шаг 2: Составим систему

• Производительность Кати: 1/x.

• Производительность Саши: 1/y.

• Вместе за 4 часа: 4 × (1/x + 1/y) = 1.

• Катя работает в 2 раза дольше: x = 2y.

Система:

• 4 × (1/x + 1/y) = 1

• x = 2y

Шаг 3: Решим методом подстановки
Из второго уравнения: x = 2y.
Подставим в первое:
4 × (1/(2y) + 1/y) = 1
4 × (1/(2y) + 2/(2y)) = 1
4 × 3/(2y) = 1
12/(2y) = 1
6/y = 1
y = 6

Теперь:
x = 2 × 6 = 12

Шаг 4: Проверка

• Производительность: 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4 за час. За 4 часа: 4 × 1/4 = 1 (верно ✅).

• x = 2y: 12 = 2 × 6 (верно ✅).

Ответ: Катя убирает за 12 часов, Саша — за 6 часов. 🎉

Зачем это нужно? 🌍

Системы уравнений в задачах на работу помогают:

• Рассчитывать, сколько времени нужно для выполнения задач вдвоем или по отдельности 🕒.

• Планировать работу в реальной жизни, например, строительство или уборку 🏗️.

• Развивать навыки решения задач с помощью алгебры 📊.

Интересный факт! 😮

Задачи на работу используют в инженерии и экономике, чтобы оптимизировать процессы, например, сколько рабочих нужно для завершения проекта вовремя! 🏭⚙️