Следствия СТО. Энергия и масса

Тема урока: Следствия СТО. Энергия и масса 📚

Цели урока 🎯

• Понять смысл формулы E₀ = mc² 🧠

• Различать энергию покоя, полную и кинетическую энергию 🔢

• Научиться считать энергию по массе и наоборот ⚡

Основная часть урока 📝

1. Энергия покоя 🤔

Главное следствие СТО: масса и энергия связаны. Любое тело, даже неподвижное, обладает энергией покоя: E₀ = mc², где E₀ — энергия покоя (Дж), m — масса тела (кг), c — скорость света в вакууме, 3·10⁸ м/с.
✨ Важно: из-за множителя c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с² даже в крошечной массе «спрятана» колоссальная энергия.

2. Полная и кинетическая энергия 🔍

Для движущегося тела полная энергия равна E = mc²/√(1 − v²/c²), где v — скорость тела (м/с). При v = 0 она превращается в энергию покоя.
Кинетическая энергия в СТО — это разность: E_к = E − E₀. При скоростях, много меньших c, эта формула переходит в привычную E_к = mv²/2 — механика Ньютона остаётся верной как частный случай.
✨ Важно: при v → c полная энергия стремится к бесконечности — вот почему тело с массой нельзя разогнать до скорости света.

3. Где проявляется связь массы и энергии ⚛

Когда система отдаёт энергию, её масса уменьшается: Δm = ΔE/c². В ядерных реакциях «исчезнувшая» масса (дефект массы) превращается в энергию излучения и тепла — так работают атомные электростанции и светят звёзды.

4. Решаем задачи 🧮

Задача 1. Найди энергию покоя тела массой 1 г.

1. Переводим в СИ: m = 1 г = 10⁻³ кг.

2. Формула: E₀ = mc² = 10⁻³·(3·10⁸)² = 10⁻³·9·10¹⁶ = 9·10¹³ Дж.

3. Сравнение: при сгорании угля выделяется около 3·10⁷ Дж/кг, значит 9·10¹³ Дж — это как сжечь 3·10⁶ кг, то есть 3000 тонн угля.
   Ответ: 9·10¹³ Дж.

Задача 2. Электрон (m = 9,1·10⁻³¹ кг) летит со скоростью 0,6c. Найди его энергию покоя и полную энергию.

1. Энергия покоя: E₀ = mc² = 9,1·10⁻³¹·9·10¹⁶ ≈ 8,2·10⁻¹⁴ Дж.

2. Корень: √(1 − 0,6²) = √0,64 = 0,8.

3. Полная энергия: E = E₀/0,8 = 8,2·10⁻¹⁴/0,8 ≈ 1,0·10⁻¹³ Дж.
   Ответ: E₀ ≈ 8,2·10⁻¹⁴ Дж; E ≈ 1,0·10⁻¹³ Дж. Полная энергия больше энергии покоя — так и должно быть.

Задача 3. Солнце излучает мощность 3,8·10²⁶ Вт. На сколько уменьшается его масса каждую секунду?

1. Энергия за секунду: ΔE = P·Δt = 3,8·10²⁶·1 = 3,8·10²⁶ Дж, где P — мощность излучения (Вт).

2. Потеря массы: Δm = ΔE/c² = 3,8·10²⁶/(9·10¹⁶) ≈ 4,2·10⁹ кг.

3. Осмысляем: около 4 миллионов тонн в секунду! И всё равно Солнца хватит ещё на миллиарды лет.
   Ответ: примерно 4,2·10⁹ кг за секунду.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Забывают возвести c в квадрат или теряют степень десятки. → ✅ c² = 9·10¹⁶ м²/с² — проверяй порядок ответа.

• ❌ Путают энергию покоя и полную энергию. → ✅ E₀ = mc² — только для покоящегося тела; у движущегося E больше.

• ❌ Считают кинетическую энергию по mv²/2 при околосветовых скоростях. → ✅ Эта формула верна лишь при v, много меньших c; в СТО E_к = E − E₀.

• ❌ Подставляют массу в граммах. → ✅ Только килограммы: 1 г = 10⁻³ кг.

Мини-конспект 📋

• Энергия покоя: E₀ = mc²; c = 3·10⁸ м/с, c² = 9·10¹⁶ м²/с².

• Полная энергия: E = mc²/√(1 − v²/c²).

• Кинетическая энергия: E_к = E − E₀.

• При малых скоростях формулы СТО переходят в ньютоновские.

• Отдавая энергию, тело теряет массу: Δm = ΔE/c².

• Разогнать тело с массой до скорости света невозможно: нужна бесконечная энергия.

Зачем это нужно? 🚀

• Атомные электростанции превращают дефект массы ядер в электроэнергию ⚛

• Солнце светит, ежесекундно обменивая миллионы тонн массы на излучение ☀

• ПЭТ-диагностика в медицине использует превращение массы частиц в энергию квантов 🏥