Сложение скоростей: v₁₃ = v₁₂ + v₂₃
Скорость — относительно чего?
Представь: ты едешь в поезде со скоростью 60 км/ч. Встречный поезд едет 80 км/ч. Для пассажиров твоего вагона он пролетает мимо со скоростью 140 км/ч. Для наблюдателя на перроне — один едет 60, другой 80. Одно и то же событие, разные скорости. Всё зависит от системы отсчёта.
Скорость всегда задаётся относительно какого-либо тела отсчёта. Одно и то же тело имеет разные скорости в разных системах отсчёта. Закон сложения скоростей связывает эти различные значения между собой.
Закон сложения скоростей
→v₁₃ = →v₁₂ + →v₂₃
→v₁₃ — скорость тела 1 относительно тела 3 (то, что нужно найти)
→v₁₂ — скорость тела 1 относительно тела 2 (промежуточная система)
→v₂₃ — скорость тела 2 относительно тела 3 (тела отсчёта)
Ключ к запоминанию: средние индексы сокращаются — 12 + 23 = 13.
Это векторное равенство. В одномерном случае (всё движение вдоль одной прямой) оно сводится к алгебраическому сложению проекций — с учётом знаков.
Что обозначают индексы
Индексы указывают: скорость чего относительно чего. Порядок важен:
- →v₁₂ — это скорость объекта 1 в системе отсчёта, связанной с объектом 2.
- →v₂₁ = −→v₁₂ — если переставить индексы, скорость меняет знак.
- →v₁₁ = 0 — тело покоится в собственной системе отсчёта.
Типичные обозначения в задачах
Часто используют: →v — скорость тела относительно Земли (берег, дорога, земля)
→u — скорость среды (лодки, ленты конвейера, поезда) относительно Земли
→v’ — скорость тела относительно среды
Тогда: →v = →v’ + →u
Одномерные задачи: вдоль прямой
Задача 1. Лодка и река — вдоль течения
Лодка движется по реке со скоростью 3 м/с относительно воды. Скорость течения реки — 2 м/с. Найди скорость лодки относительно берега, если она плывёт по течению, и если против.
Ось Ox — направление течения (положительное).
→v_лод/вода = +3 м/с; →v_вода/берег = +2 м/с
По течению:
→v_лод/берег = →v_лод/вода + →v_вода/берег = 3 + 2 = +5 м/с
Против течения:
→v_лод/вода = −3 м/с (против оси)
→v_лод/берег = −3 + 2 = −1 м/с (медленно движется вверх по течению)
Задача 2. Пассажир в поезде
Поезд едет 30 м/с относительно земли. Пассажир идёт по вагону в направлении движения поезда со скоростью 1,5 м/с относительно вагона. Какова скорость пассажира относительно земли?
→v_пасс/земля = →v_пасс/вагон + →v_вагон/земля
= 1,5 + 30 = 31,5 м/с
Если идёт в обратную сторону: 30 − 1,5 = 28,5 м/с
Задача 3. Два тела навстречу — скорость сближения
Два автомобиля едут навстречу со скоростями 20 м/с и 15 м/с относительно дороги. Какова скорость первого автомобиля относительно второго?
Ось Ox — направление первого (v₁ = +20 м/с; v₂ = −15 м/с).
→v₁₂ = →v₁земля − →v₂земля = →v₁земля + →v_земля₂
Или напрямую: →v₁/₂ = →v₁/Земля + →v_Земля/₂ = +20 + 15 = +35 м/с
Скорость сближения = 35 м/с — именно с такой скоростью первый «видит» приближение второго.
Двумерные задачи: движение под углом
Задача 4. Лодка поперёк реки
Лодка движется перпендикулярно берегу со скоростью 4 м/с относительно воды. Течение реки — 3 м/с вдоль берега. Найди скорость лодки относительно берега и угол сноса.
Оси: Ox — вдоль берега (по течению), Oy — поперёк (к другому берегу).
→v’ = (0; +4) м/с — лодка относительно воды, строго поперёк
→u = (+3; 0) м/с — течение относительно берега
→v_берег = →v’ + →u = (3; 4) м/с
Модуль: |→v| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5 м/с
Угол сноса: tan α = 3/4 → α ≈ 37° от перпендикуляра к берегу
Лодка доберётся до другого берега, но снесётся вниз по течению.
Типовые случаи и результаты
| Ситуация | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Лодка по течению | v = v’ + u | Скорости складываются |
| Лодка против течения | v = v’ − u | Скорости вычитаются |
| Лодка поперёк реки | v = √(v’² + u²) | Теорема Пифагора |
| Тела навстречу | v_сбл = v₁ + v₂ | Скорость сближения |
| Тела в одну сторону | v_сбл = |v₁ − v₂| | Скорость сближения/удаления |
Итог
Запомни главное
Скорость всегда задаётся относительно какого-либо тела отсчёта.
Закон сложения: →v₁₃ = →v₁₂ + →v₂₃ — средние индексы сокращаются.
В одномерном случае: алгебраическое сложение проекций со знаками.
В двумерном случае: сложение векторов (правило параллелограмма или Пифагор при ⊥).
Скорость сближения навстречу = сумма скоростей; вдогонку = разность скоростей.
Ответ. Ось Бык — восток, Ой — север. →в’_сам = (0; +200), →u_ветер = (+50; 0). Скорость относительно земли: →v = (50; 200) м/с. Модуль: |→v| = √(50² + 200²) = √(2500 + 40000) = √42500 ≈ 206 м/с . Угол сноса: tan α = 50/200 = 0,25 → α ≈ 14° к востоку от севера. Самолёт будет снесён ветром и полетит не строго на север.
Ответ. Скорость лодки относительно берега: v = v’ − u = 5 − 5 = 0 м/с . Лодка будет стоять на месте относительно берега — двигатель работает, но полностью компенсирует движение. Если чуть сильнее — лодку унесёт назад. Это показывает, что скорость берега — это векторная величина, а не просто скорость мотора.
Ответ. Ось Ox — направление движения. Скорость первого относительно второго: v₁₂ = v₁ − v₂ = 25 − 18 = +7 м/с (первый удаляется от второго). Скорость второго первого соответственно: v₂₁ = v₂ − v₁ = 18 − 25 = −7 м/с (второй отстаёт, «видит» как первый уходит вперёд). Знак меняется при обмене индексов — это подтверждается правилом: v₂₁ = −v₁₂.
Оцените урок:
