Средняя скорость по пути и средняя по времени. Подробный разбор обоих определений
На олимпиадах по физике есть одна ловушка, в которую попадаются даже хорошо подготовленные ученики. Задача звучит просто: «Найдите среднюю скорость». Но подвох в том, что существуют два разных определения средней скорости — и они дают разные ответы. Составители олимпиад это знают и специально формулируют условие так, чтобы невнимательный участник выбрал не тот путь решения.
Два определения средней скорости
В физике есть два способа усреднить скорость. Они выглядят похоже, но работают по-разному и дают разные числа.
Определение 1: Средняя скорость по пути
Средняя скорость по пути — это ВЕСЬ пройденный путь, делённый на ВСЁ затраченное время.
Это то определение, которое используется в школьной физике и на большинстве олимпиад. Когда в задаче написано просто «средняя скорость» без уточнений — имеется в виду именно оно.
Определение 2: Средняя скорость по времени
Средняя скорость по времени — это среднее арифметическое мгновенных скоростей, взятых в равные моменты времени. Для простого случая двух участков с одинаковым временем это просто (v₁ + v₂) / 2.
Это определение используется реже, но иногда встречается в олимпиадных задачах — и вот тут-то начинается путаница.
В чём ловушка?
Проблема в том, что эти два определения дают одинаковый результат только в одном случае — когда скорость вообще не менялась. Во всех остальных случаях ответы будут разными!
⚠ Где прячется ловушка
Олимпиадная задача специально формулируется так, чтобы ты не заметил, какое определение нужно использовать. Например:
«Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч…» — здесь одинаковые ПУТИ.
«Первую половину времени автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч…» — здесь одинаковое ВРЕМЯ.
Одно слово меняет ответ! А многие ученики читают невнимательно и решают оба случая одинаково.
Подробный разбор: одинаковые пути
Задача говорит: «Первую половину пути проехал со скоростью v₁, вторую половину пути — со скоростью v₂».
Здесь пути одинаковые, а времена — разные. На медленном участке времени тратится больше!
Разбор по шагам
Пусть весь путь = S.
Первая половина: t₁ = (S/2) / v₁
Вторая половина: t₂ = (S/2) / v₂
t = t₁ + t₂ = S/(2v₁) + S/(2v₂) = S·(v₁ + v₂) / (2·v₁·v₂)
v(ср) = S / t = S / [S·(v₁ + v₂) / (2·v₁·v₂)]
После сокращения S получаем:
Это гармоническое среднее. Оно ВСЕГДА меньше среднего арифметического.
Подробный разбор: одинаковое время
Задача говорит: «Первую половину времени ехал со скоростью v₁, вторую половину времени — со скоростью v₂».
Здесь времена одинаковые, а пути — разные. На быстром участке проезжается больший путь!
Разбор по шагам
Пусть всё время = T.
Первая половина времени: S₁ = v₁ · T/2
Вторая половина времени: S₂ = v₂ · T/2
S = S₁ + S₂ = v₁·T/2 + v₂·T/2 = (v₁ + v₂)·T/2
v(ср) = S / T = (v₁ + v₂)·T / (2·T) = (v₁ + v₂) / 2
Это обычное среднее арифметическое. Оно работает только когда время одинаковое!
Наглядное сравнение на числах
Возьмём v₁ = 60 км/ч и v₂ = 20 км/ч. Посмотрим, как отличаются ответы.
| Что одинаковое? | Формула | Подставляем | Ответ |
|---|---|---|---|
| Одинаковые ПУТИ | 2·v₁·v₂ / (v₁+v₂) | 2·60·20 / (60+20) | 30 км/ч |
| Одинаковое ВРЕМЯ | (v₁+v₂) / 2 | (60+20) / 2 | 40 км/ч |
Разница — целых 10 км/ч! На олимпиаде неправильный ответ означает 0 баллов за задачу.
Почему при одинаковых путях средняя скорость меньше?
Потому что на медленном участке тратится больше времени. Если ты половину пути ехал 60, а половину — 20, то на медленном участке ты провёл в 3 раза больше времени! Медленная скорость «перевешивает» быструю. Средняя скорость смещается в сторону меньшей скорости.
Ещё больше различий: три участка
Формулы обобщаются на любое число участков.
Три равных отрезка ПУТИ
Три равных промежутка ВРЕМЕНИ
Пример: сравнение на трёх участках
v₁ = 12 км/ч, v₂ = 6 км/ч, v₃ = 4 км/ч
v(ср) = 3 / (1/12 + 1/6 + 1/4) = 3 / (1/12 + 2/12 + 3/12) = 3 / (6/12) = 3 / 0,5 = 6 км/ч
v(ср) = (12 + 6 + 4) / 3 = 22/3 ≈ 7,3 км/ч
Разница: 6 против 7,3. Гармоническое среднее снова меньше!
Математический факт
Неравенство средних: Для любых положительных чисел гармоническое среднее ≤ среднее арифметическое. Равенство достигается только тогда, когда все числа одинаковые.
Это значит:
- Средняя скорость по одинаковым путям ВСЕГДА ≤ средней скорости по одинаковому времени
- Они совпадают только если все скорости были одинаковые (и тогда задачи нет)
- Чем больше разброс скоростей, тем сильнее различаются ответы
Как олимпиады ловят на этом
⚠ Ловушка 1: Замаскированное условие
«Машина проехала от A до B со скоростью 40 км/ч, а обратно от B до A — со скоростью 60 км/ч.»
Тут не написано «половину пути» — но расстояние от A до B и обратно одинаковое! Значит, это одинаковые пути, и нужно гармоническое среднее.
⚠ Ловушка 2: Неочевидные доли
«Первую треть пути ехал 90 км/ч, оставшиеся две трети — 45 км/ч.»
Здесь путь разбит НЕ пополам, а на 1/3 и 2/3. Нельзя использовать ни формулу для половин пути, ни для половин времени. Нужно считать через определение: v(ср) = S / t.
⚠ Ловушка 3: Остановка внутри маршрута
«Ехал 2 часа со скоростью 60, стоял 1 час, ехал ещё 1 час со скоростью 40.»
Стоянка — это время с нулевой скоростью. Путь = 0, но время идёт. Многие забывают включить стоянку в общее время.
Универсальное оружие: метод «через определение»
Если ты не уверен, какой случай перед тобой — не гадай. Просто используй определение напрямую. Это работает ВСЕГДА.
Раздели движение на участки, где скорость была постоянной.
Если дан путь — найди время: t = S / v
Если дано время — найди путь: S = v · t
S(общий) = S₁ + S₂ + S₃ + …
t(общее) = t₁ + t₂ + t₃ + …
v(ср) = S(общий) / t(общее)
Совет для олимпиад
Если не уверен — введи буквенное обозначение. Например, пусть S = весь путь. Тогда при вычислениях S сократится, и ты получишь числовой ответ. Это надёжный приём, который никогда не подведёт.
Шпаргалка-сравнение
| Одинаковые ПУТИ | Одинаковое ВРЕМЯ | |
|---|---|---|
| Ключевые слова | «половину пути», «туда-обратно», «первую треть расстояния» | «половину времени», «первый час», «первую треть времени» |
| Формула (два участка) | 2·v₁·v₂ / (v₁+v₂) | (v₁+v₂) / 2 |
| Тип среднего | Гармоническое | Арифметическое |
| Значение больше? | Всегда МЕНЬШЕ | Всегда БОЛЬШЕ |
| Пример (60 и 20) | 30 км/ч | 40 км/ч |
Полный разбор олимпиадной задачи
Задача (уровень муниципальной олимпиады)
Условие: Велосипедист ехал из города A в город B со скоростью 15 км/ч, а обратно — со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость за всю поездку.
«Из A в B и обратно» — расстояние туда и обратно одинаковое!
Значит, пути равные. Пусть расстояние AB = S.
Туда: t₁ = S / 15
Обратно: t₂ = S / 10
S(общий) = S + S = 2S
t(общее) = S/15 + S/10 = 2S/30 + 3S/30 = 5S/30 = S/6
v(ср) = 2S / (S/6) = 2S · 6/S = 12 км/ч
Ответ: 12 км/ч. Неправильный ответ (15+10)/2 = 12,5 выглядит похоже — но он НЕВЕРНЫЙ!
Проверка через формулу
v(ср) = 2·15·10 / (15+10) = 300/25 = 12 км/ч ✅
Формула гармонического среднего даёт тот же ответ — и это хороший способ быстрой проверки.
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Автоматически берут среднее арифметическое
«Скорости 40 и 60 — значит средняя 50.» Это верно ТОЛЬКО при одинаковом времени! Читай условие!
❌ Ошибка 2: Не замечают, что «туда-обратно» = одинаковые пути
Когда говорят «из A в B и обратно» — расстояния одинаковые. Используй гармоническое среднее.
❌ Ошибка 3: Путают «1/3 пути» и «1/3 времени»
Это фундаментально разные условия! Перечитывай задачу дважды.
❌ Ошибка 4: Используют специальную формулу, когда она не подходит
Формула 2v₁v₂/(v₁+v₂) работает ТОЛЬКО для двух РАВНЫХ частей пути. Если части неравные — считай через определение.
Нет, это НЕВЕРНО!
В задаче одинаковые ПУТИ, а не одинаковое время. Среднее арифметическое здесь не работает.
Используем гармоническое среднее:
v(ср) = 2 · 120 · 80 / (120 + 80) = 19200 / 200 = 96 км/ч
На медленном участке (80 км/ч) поезд тратит больше времени. Поэтому средняя скорость ближе к 80, чем к 120.
Ответ: 96 км/ч, а не 100.
Сказано «половину ВРЕМЕНИ» — значит, время одинаковое. Здесь можно использовать среднее арифметическое!
v(ср) = (6 + 4) / 2 = 5 км/ч
Пусть всё время T = 2 часа (по 1 часу на каждый участок).
S₁ = 6 · 1 = 6 км, S₂ = 4 · 1 = 4 км
S(общий) = 10 км, t(общее) = 2 часа
v(ср) = 10 / 2 = 5 км/ч ✅
Ответ: 5 км/ч. В этом случае среднее арифметическое верно!
«Из A в B и обратно» — расстояния одинаковые. Это задача с одинаковыми ПУТЯМИ!
Пусть расстояние AB = S
t₁ = S / 90, t₂ = S / 45
S(общий) = 2S
t(общее) = S/90 + S/45 = S/90 + 2S/90 = 3S/90 = S/30
v(ср) = 2S / (S/30) = 2S · 30/S = 60 км/ч
v(ср) = 2 · 90 · 45 / (90 + 45) = 8100 / 135 = 60 км/ч ✅
Ответ: 60 км/ч. Неправильный ответ (90+45)/2 = 67,5 — типичная ошибка!
Оцените урок:
