Определение степени

Мы с вами знаем, что если дана сумма одинаковых слагаемых, например,

 ,

то её можно записать как , или, например,

Мы видим, что первое число в правых частях равенств показывает, сколько элементов мы складывали, а второе – какие элементы мы складывали.

Было бы неплохо, если бы для умножения тоже существовала более компактная запись. Например, для того чтобы упростить запись такого выражения

Такая запись есть. Она называется четвертой степенью числа 3. Почему четвертой? Потому что троек у нас 4 штуки.

Так выглядит данная запись:

Читается как «три в четвертой степени» или «три в четвертой».

Такая запись читается как «икс в пятой степени» или «икс в пятой».

Квадрат и куб

У второй и третьей степеней есть свои названия.

Когда мы n умножим на n, получим n во второй степени. Но также мы можем сказать, что получили n в квадрате. Если у нас есть квадрат со стороной, равной n, то его площадь равна .

Если а умножим на себя два раза, то получим a в третьей степени:

Обычно про такую запись говорят не a в третьей степени, а a в кубе. Ведь объем кубика со стороной a равен .

Пример 1. 

Пример 2. 

Пример 3. 

Есть ли первая степень? Да, есть. Если степень равна 1, значит, у нас есть один сомножитель. Например,

Нулевая степень

Нулевая степень означает, что мы рассматриваем 0 сомножителей.

Принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1.

Решение примеров со степенями

Пример 4. Представьте произведение в виде степени.

1)       

У элементов степени есть специальные названия. То, что мы возводим в степень, называется основанием степени. В нашем примере это 1. Число, обозначающее степень, называется показателем. В нашем примере это 4.

2)             

3)           

Пример 5. Представьте степень в виде произведения.

1) 

2) 

3) 

Пример 6. Вычислите сумму квадратов чисел 5 и 4.

Что такое сумма квадратов? Данная запись выглядит так:

То есть сначала мы возводим каждое число в степень, а затем складываем.

Стоит отличать данную запись от следующей:

В таком случае мы сначала складываем, а потом возводим в степень.

Пример 7. Вычислите куб разности чисел 2 и 1.

Сначала нам необходимо найти разность, а потом полученное число возвести в третью степень:

Совершенно другой результат мы получим при вычислении разности кубов, то есть если мы сначала возведем числа в третью степень, а затем выполним вычитание.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Возведем число 35 в квадрат:

Возьмем первую цифру нашего числа – 3 – и умножим ее на следующую, то есть ту, которая идет после нее в натуральном ряду – 4. Получим 12. Теперь просто припишем к 12 число 25:

Мы получили число тысяча двести двадцать пять.

1) 

2) 

Почти то же самое работает и для трехзначных чисел. Только теперь мы берем не цифру, которая стояла перед цифрой 5, а число. Например,

Получили одиннадцать тысяч двадцать пять.

Заключение

Мы познакомились с такими понятиями, как квадрат и куб числа, кроме того, дали чуть более сложное определение степени; узнали, что такое показатель степень, основание степени; научились преобразовывать произведение одинаковых чисел в степень и наоборот.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Теоретический материал (Источник)
2. Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)
3. Презентация (Источник)

Домашнее задание

1. Представьте в виде степени произведение:

а) 

б) 

в) 

г) 

2. Запишите выражение в виде степени и вычислите значение:

а) 2 в квадрате

б) 3 в пятой степени

в) 7 в кубе

3. Представьте степень в виде произведения:

а) 

б) 

в) 

г)