Тема урока: Степенная функция y=x^(2n+1), её свойства и график 📚✨

Цель урока 🎯

Познакомить учеников 7 класса с понятием степенной функции с нечётной степенью, её основными свойствами и тем, как выглядит её график. Мы разберёмся, что это за функция, как она работает, и почему её график такой интересный! 😊

Основные понятия 📝

Степенная функция — это функция вида y = x^(2n+1), где n — целое неотрицательное число (например, n = 0, 1, 2, …). Это значит, что степень 2n+1 всегда нечётная (например, 1, 3, 5 и так далее). Давайте разберёмся, как она устроена! 🚀

Примеры степенных функций:

• Если n = 0, то степень 2n+1 = 1, и функция будет y = x¹ (просто y = x, прямая линия).

• Если n = 1, то степень 2n+1 = 3, и функция будет y = x³ (кубическая функция).

• Если n = 2, то степень 2n+1 = 5, и функция будет y = x⁵.

Такие функции встречаются в математике и науке, и их графики выглядят очень красиво! 😍

Свойства степенной функции y = x^(2n+1) 🧠

1. Область определения 📍
   Функция определена для всех чисел x, то есть можно подставить любое число, и мы получим результат.
   Пример: Для y = x³, если x = 2, то y = 8; если x = -2, то y = -8.

2. Область значений 🌈
   Функция может принимать любые значения y — от минус бесконечности до плюс бесконечности. Это потому, что при нечётной степени знак y зависит от знака x.

3. Чётность 🔄
   Функция нечётная, то есть её график симметричен относительно начала координат (0;0). Если повернуть график на 180 градусов, он будет выглядеть так же!
   Пример: Для y = x³, если x = 2, то y = 8, а если x = -2, то y = -8.

4. Возрастание 📈
   Функция всегда возрастает. Это значит, что чем больше x, тем больше y. Если x увеличивается, y тоже растёт, и наоборот.

5. Точка пересечения с осями 📌
   График проходит через начало координат (0;0), так как при x = 0, y = 0.

График степенной функции 🎨

График функции y = x^(2n+1) — это плавная кривая, которая проходит через точку (0;0).

• Если x > 0, график уходит вверх (y становится положительным).

• Если x < 0, график уходит вниз (y становится отрицательным).

• Для функции y = x³ график напоминает плавную волну, которая становится круче при больших значениях x.
  Пример: Для y = x³ точки на графике: (-2; -8), (-1; -1), (0;0), (1;1), (2;8). Если соединить их, получится красивая кривая! 😎

Как построить график? 🖌️

1. Выбери несколько значений x (например, -2, -1, 0, 1, 2).

2. Подставь их в функцию и найди y.
   Пример: Для y = x³:

   • x = -2 → y = (-2)³ = -8

   • x = -1 → y = (-1)³ = -1

   • x = 0 → y = 0³ = 0

   • x = 1 → y = 1³ = 1

   • x = 2 → y = 2³ = 8

3. Поставь точки на координатной плоскости и соедини их плавной линией.

4. Полюбуйся результатом! 🎉

Интересный факт 🌟

Степенные функции с нечётной степенью часто используют в физике и технике, потому что они хорошо описывают, как изменяются разные величины, например, скорость или энергия.