Степенная функция, её свойства и график

Тема урока: Степенная функция, её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Узнать, как выглядит график y = x^p при разных показателях 🧠

• Научиться находить область определения и значения функции 🔢

• Использовать монотонность для сравнения чисел 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое степенная функция? 🤔

Степенная функция — это y = x^p, где показатель p — заданное число, а переменная стоит в основании. Разные p дают знакомые графики: y = x² — парабола, y = x³ — кубическая парабола, y = x⁻¹ = 1/x — гипербола, y = x^1/2 = √x — ветвь «лежачей» параболы.

2. Чётный натуральный показатель 🔍

y = x², y = x⁴… График — «чаша», симметричная относительно оси y: функция чётная, ведь (−x)^p = x^p при чётном p. На промежутке x ≤ 0 функция убывает, при x ≥ 0 возрастает. Значения неотрицательны: y ≥ 0.

3. Нечётный натуральный показатель 📈

y = x³, y = x⁵… Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат и возрастает на всей числовой прямой. Область значений — все действительные числа.

4. Отрицательный и дробный показатели 🧩

• y = x⁻¹ = 1/x — гипербола: x ≠ 0, на каждом из промежутков x < 0 и x > 0 функция убывает.

• y = x^1/2 = √x — определена при x ≥ 0, возрастает.

• ✨ Важно: при дробном p функцию рассматривают при x ≥ 0 (если p > 0) или при x > 0 (если p < 0).

5. Прорешанные примеры 📊

Пример 1. Принадлежат ли точки A(8; 4) и B(1; 2) графику y = x^2/3?

1. Подставим x = 8: 8^2/3 = (³√8)² = 2² = 4. Совпало — точка A на графике ✅

2. Подставим x = 1: 1^2/3 = 1 ≠ 2. Точка B графику не принадлежит ❌

Пример 2. Сравним без калькулятора 2,4⁵ и 2,5⁵, а затем 1,2⁻² и 1,3⁻².

1. y = x⁵ возрастает, а 2,4 < 2,5, значит, 2,4⁵ < 2,5⁵.

2. y = x⁻² при x > 0 убывает, а 1,2 < 1,3, значит, 1,2⁻² > 1,3⁻².

3. Проверка: 1,2⁻² = 1/1,44 ≈ 0,69, а 1,3⁻² = 1/1,69 ≈ 0,59 — действительно меньше ✅

Пример 3. Найдём область определения y = x^1/4 и y = x⁻³.

1. x^1/4 = ⁴√x: корень чётной степени требует x ≥ 0.

2. x⁻³ = 1/x³: делить на ноль нельзя, поэтому x ≠ 0.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Путают y = x^p и y = p^x. ✅ В степенной функции переменная в основании, показатель фиксирован; у показательной — наоборот.

• ❌ Ищут значения y = √x при x < 0. ✅ Область определения — x ≥ 0.

• ❌ Считают график y = x⁴ «той же параболой», что и y = x². ✅ Форма похожа, но при |x| > 1 график x⁴ идёт круче, а при 0 < |x| < 1 проходит ниже.

• ❌ Подставляют x = 0 в y = x⁻². ✅ Отрицательный показатель — это дробь, ноль в основание не подходит.

Мини-конспект 📋

• Степенная функция: y = x^p, переменная — в основании.

• Чётный натуральный p: «чаша», чётная функция, y ≥ 0.

• Нечётный натуральный p: возрастает на всей прямой, нечётная.

• p < 0: x ≠ 0, график — типа гиперболы.

• Дробный p > 0: определена при x ≥ 0, возрастает.

• При x > 0: p > 0 — функция возрастает, p < 0 — убывает; этим сравнивают числа.

Зачем это нужно? 🚀

• Площадь растёт как квадрат размера, объём — как куб: расчёт материалов и упаковки 📦

• Освещённость убывает как 1/r² — так рассчитывают свет в комнате и на сцене 💡

• Время падения предмета пропорционально √h — зависимость со степенью 1/2 ⏱