1. Действия с рациональными числами. Основные свойства
2. Другие свойства рациональных чисел

Сначала рассмотрим основные свойства, а затем — те свойства, которые базируются на основных свойствах. 

Действия с рациональными числами. Основные свойства

Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть $a,b,c,d$ — некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.

1. Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. $a+b=b+a$.
2. Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. $a+(b+c)=(a+b)+c$.
3. Ноль — нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. $a+0=a$.
4. Для любого рационального числа $a$ существует такое противоположное число $-a$, что $a+(-a)=0$.
5. Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. $a\cdot b=b\cdot a$.
6. Сочетательный закон умножения.$\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
7. Единица — нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. $a\cdot 1=a$.
8. Для любого рационального числа $a$, отличного от ноля, существует такое обратное число $a^{-1}$, что $a\cdot a^{-1}=1$.
9. Распределительное свойство умножения относительно сложения. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Перечисленные выше свойства — основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.

Другие свойства рациональных чисел

Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. $a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$ или $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$. 

Умножение отрицательных рациональных чисел. $(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$. 

Умножение произвольного числа на ноль. $a\cdot 0=0$. Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть $d$ — любое рациональное число. Справедливым будет равенство $0=d+(-d)$, которое можно переписать так: $a\cdot 0=a\cdot (d+(-d\left)\right)$. Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:

$a\cdot 0=a\cdot d+a\cdot (-d)a\cdot d+a\cdot (-d)=a\cdot d+(-a\cdot d)$

Сумма двух противоположных чисел $a\cdot d$ и $(-a\cdot d)$ дает ноль. Что и требовалось доказать.

Рассмотренные выше свойства — свойства умножения и сложения. Свойства вычитания и деления задаются как обратные свойства соответственно к сложению и умножению. Так, разность двух чисел $a-b$ можно записать в виде суммы $a+(-b)$, а частное $\frac{a}{b}$ есть не что иное, как произведение $a\cdot b^{-1}$.

С учетом свойств умножения и сложения можно доказать любые свойства действий с рациональными числами. Для примера, возьмем распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot ca\cdot (b-c)=a\cdot (b+(-c\left)\right)=a\cdot b+a\cdot (-c)=a\cdot b+(-a\cdot c)=a\cdot b-a\cdot c$