Тема урока: Свойства линейной функции y=kx+m и y=kx² 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберёмся, что такое линейная функция и функция вида y=kx², какие у них свойства и как они выглядят на графике. Мы научимся понимать, как коэффициенты k и m влияют на поведение функций, и потренируемся строить их графики! 📈

Основная часть урока 📚

1. Что такое линейная функция y=kx+m? 🤔

Линейная функция — это функция вида y = kx + m, где:

• x — это переменная (например, число, которое мы выбираем).

• y — это результат функции (зависит от x).

• k — это коэффициент, который показывает, насколько круто линия наклонена (угол наклона).

• m — это число, которое сдвигает график функции вверх или вниз по оси y.

Пример: Если y = 2x + 3, то k = 2 (линия идёт вверх и довольно крутая), а m = 3 (график начинается на 3 единицы выше начала координат).

Свойства линейной функции:

• График — это прямая линия 📏.

• Если k > 0, линия наклонена вверх (возрастает).

• Если k < 0, линия наклонена вниз (убывает).

• Если k = 0, то y = m — это горизонтальная линия.

• m показывает, где график пересекает ось y (точка (0, m)).

• Функция определена для всех x, и её значения могут быть любыми числами.

Пример на графике: Для y = 2x + 3 точка пересечения с осью y — (0, 3), а линия идёт вверх, потому что k = 2 > 0. 😎

2. Что такое функция y=kx²? 🌟

Функция вида y = kx² — это уже не прямая, а парабола! Парабола выглядит как дуга, которая может быть направлена вверх или вниз. Здесь:

• x — переменная.

• y — результат функции.

• k — коэффициент, который влияет на то, насколько «широкая» или «узкая» парабола и в какую сторону она открыта.

Пример: Если y = 2x², то k = 2, и парабола будет узкой и направленной вверх.

Свойства функции y=kx²:

• График — это парабола, которая проходит через точку (0, 0) (начало координат).

• Если k > 0, парабола открыта вверх ⬆️.

• Если k < 0, парабола открыта вниз ⬇️.

• Чем больше |k| (абсолютное значение k), тем парабола «уже». Если |k| маленькое, парабола «шире».

• Функция симметрична относительно оси y (если x заменить на -x, y не изменится).

Пример на графике: Для y = -3x² парабола открыта вниз, потому что k = -3 < 0, и она довольно узкая, так как |k| = 3 — большое значение. 😊

3. Сравнение двух функций ⚖️

• y = kx + m: график — прямая, всегда проходит через точку (0, m), наклон зависит от k.

• y = kx²: график — парабола, проходит через (0, 0), форма и направление зависят от k.

• Линейная функция меняется равномерно (постоянный наклон), а y = kx² меняется быстрее при больших x (квадратичная зависимость).

4. Как строить графики? ✏️

• Для y = kx + m:

1. Найди точку пересечения с осью y (x = 0, y = m).

2. Найди ещё одну точку, подставив x (например, x = 1, y = k·1 + m).

3. Соедини точки прямой линией.

• Для y = kx²:

1. Поставь точку (0, 0) — вершина параболы.

2. Подставь x = 1, x = -1, чтобы найти точки (1, k), (-1, k).

3. Нарисуй плавную дугу через эти точки, учитывая, вверх или вниз она открыта.

Практика 🛠️

Попробуем построить графики для y = 3x + 2 и y = -2x²:

• Для y = 3x + 2: точка (0, 2), при x = 1: y = 3·1 + 2 = 5, точка (1, 5). Соединяем — получаем прямую.

• Для y = -2x²: точка (0, 0), при x = 1: y = -2·1² = -2, точка (1, -2), при x = -1: y = -2. Рисуем параболу, открытую вниз.