Определение умножения

Пример 1. Есть 4 класса, и в каждом классе 30 учеников. Все классы написали контрольную работу. Сколько работ необходимо проверить?

Так как в каждом классе по 30 человек, то работ будет:

Эту же запись мы можем записать немного короче:

Умножить число a на число b – значит вычислить сумму, в которой число a повторено b раз.

a и b называются сомножителями, а то, что получится, называется произведением.

В нашем примере 30 и 4 – сомножители, а произведение равно 120.

Свойства умножения

1. Переместительное свойство умножения

Пример 2. Предположим, у Маши есть по одной страничке в четырех социальных сетях. На каждой страничке у нее выложены 3 фотографии: первая – фото, где Маша, вторая – фото, где Маша с мамой, третья – фото, где Маша с папой. Сколько всего фото у Маши на страничках?

Мы можем сказать, что на каждой страничке 3 фотографии, а всего страничек 4, значит, всего фото:

Или:

С другой стороны, мы можем посчитать количество фотографий по-другому.

Сколько всего фото, где Маша одна? Их 4 – в каждой социальной сети по одной. Сколько фотографий выложено у Маши с мамой? Тоже 4. С папой? Тоже 4. Итого:

Но общее количество фотографий одинаково. Оно не зависит от того, как мы его считали: по социальным сетям или по типу фото. Поэтому мы получаем, что 3 умножить на 4 – это то же самое, что 4 умножить на 3.

То есть, 

Данное свойство называется переместительным свойством умножения: можно менять местами сомножители, и от этого произведение не изменится. Это свойство иногда называют переместительным законом.

2. Сочетательное свойство умножения

Пример 3. Предположим, у Сергея есть 3 флешки, на каждой флешке по 4 папки, а в каждой папке 2 файла. Сколько всего файлов у Сергея?

Сколько файлов будет внутри одной флешки?

Всего флешек 3, а значит, всего файлов:

С другой стороны, у нас есть 3 флешки. На каждой флешке 4 папки:

А в каждой папке 2 файла:

Но мы могли посчитать количество файлов на одной флешке – 8, а потом умножить полученное на 3:

То есть мы выяснили, что переставлять сомножители можно не только тогда, когда их два, но и когда их 3, как в нашем примере, или больше.

То есть,  

Такое свойство умножения называется сочетательным. Иногда его называют свойством раскрытия скобок. То есть порядок, в котором мы будем умножать, неважен.

Научные названия свойств

Переместительное свойство иначе называется коммутативным (commutativus – меняющийся (лат.)). Мы меняем порядок сомножителей, а произведение от этого не меняется. Есть коммутативность умножения (при перестановке сомножителей произведение не меняется). Также есть коммутативность сложения (от перестановки слагаемых сумма не меняется).

Сочетательный закон иначе называется ассоциативным (association – соединение (лат.)). Существует ассоциативность умножения и сложения.

Частные случаи умножения

Частные случаи

1. Что будет, если умножить некоторое число n на 1? Необходимо сложить данное число один раз. То есть мы берем n один раз, а не складываем его с собой. Иначе мы используем n два раза.

Аналогично:

2. Если мы умножаем 0 на что-то, то получаем 0. Ведь сколько бы раз мы ни складывали 0 с собой, мы все равно получим 0.

Аналогично:

Как читается произведение двух сомножителей

Данная запись читается так: «Произведение ста семидесяти пяти и трехсот двенадцати».

Пример использования свойств

Пример 4. 

Мы можем умножить числа так, как они записаны. А можем немного изменить запись и упростить вычисления.

Мы использовали сочетательное свойство умножения (поменяли порядок сомножителей).

Пример 5. 

Произвести такие вычисления достаточно трудно. Давайте заметим, что 5 «хорошо» умножается на 2. Поэтому, если бы у нас был сомножитель, равный двум, наши вычисления стали бы проще. Давайте разложим число 684 на произведение двойки и чего-то еще.

Вернемся к нашему выражению:

Заключение

Мы познакомились с таким действием, как умножение натуральных чисел; выяснили, какими свойствами обладает это действие; и рассмотрели несколько частных случаев.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Презентация (Источник)
2. Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)
3. Презентация (Источник)

Домашнее задание

1. Запишите в виде суммы и произведения:

а) Число а сложили с собой 12 раз;

б) Число 5 сложили с собой k раз.

2. Запишите сумму в виде произведения и найдите значение выражения:

а) 

б) 

в) 

г) .

3. У Жени есть 6 коробок с игрушками. В каждой коробке по 3 машины. Сколько всего машинок в коробках?

4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

а) 

б) 

в) 

г)